الدوال النسبية — خطوط التقارب الرأسية والأفقية
الأفقي: درجة البسط 0 ودرجة المقام 1 ← درجة المقام أعلى ← .
الأفقي: درجة البسط 0 ودرجة المقام 2 ← .
الأفقي: الدرجتان متساويتان (2 و2) ← نقسم المعاملين الرئيسيين:
الدوال النسبية — خطوط التقارب الرأسية والأفقية
1 / 10ما هي الدوال النسبية؟
الدوال النسبية هي الدوال التي تُكتب على صورة كسر، بحيث يكون لدينا بسط ومقام، مثل:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}" data-tex="f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -2.172ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.155ex" height="5.475ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1460 5814.6 2420" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3233.6,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(240,710)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(751,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1140,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1712,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-710)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D444" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D444"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(791,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1180,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1752,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g><rect width="2341" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
حيث إن <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="P(x)" data-tex="P(x)" style="display:inline-block;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.753ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2101 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D443" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D443"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(751,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1140,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1712,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></span> و<span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="Q(x)" data-tex="Q(x)" style="display:inline-block;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.844ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2141 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D444" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D444"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(791,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1180,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1752,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></span> كثيرات حدود.
ولأن الدالة تحتوي على مقام، فلا بد أن يكون المقام لا يساوي صفراً، لأن القسمة على الصفر غير معرفة، وعندها تظهر خصائص مميزة للدوال النسبية.
علاقة الدوال النسبية بكثيرات الحدود
إذا كان المقام يساوي واحداً، فإن الدالة تتحول إلى دالة كثيرات حدود، مثل:
- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x^2+1" data-tex="x^2+1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.179ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 2731 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,363) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1230.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2231,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x+x^2" data-tex="x+x^2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.342ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 2803 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(794.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1794.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,363) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></svg></span>
ولهذا تعتبر كثيرات الحدود حالة خاصة من الدوال النسبية.
حتى الدالة الثابتة مثل:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(x)=5" data-tex="f(x)=5" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.447ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3733.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3233.6,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g></g></g></svg></div>
يمكن كتابتها على الصورة:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="\frac{5}{1}" data-tex="\frac{5}{1}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.552ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.127ex" height="4.588ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 940 2028" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
ولذلك فهي أيضاً تعد دالة نسبية.
لماذا ندرس الدوال النسبية بشكل مستقل؟
في كثيرات الحدود تكون قيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> موجودة في البسط فقط، أما في الدوال النسبية فقد تظهر <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> في المقام.
وجود المتغير في المقام يؤدي إلى ظهور خصائص جديدة، أهمها:
- خطوط التقارب الرأسية. - خطوط التقارب الأفقية.
خطوط التقارب الرأسية
خط التقارب الرأسي يظهر عند كل قيمة لـ <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> تجعل المقام يساوي صفراً.
فمثلاً في الدالة:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(x)=\frac{1}{x}" data-tex="f(x)=\frac{1}{x}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.577ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.605ex" height="4.613ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 4245.6 2039" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3233.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(256,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,-686)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><rect width="772" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
عندما:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x=0" data-tex="x=0" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></div>
يصبح المقام صفراً، وبالتالي يكون لدينا خط تقارب رأسي عند:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x=0" data-tex="x=0" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></div>
وجود أكثر من خط تقارب رأسي
قد تحتوي الدالة على أكثر من قيمة تجعل المقام صفراً.
فمثلاً:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(x)=\frac{1}{(x+2)(x-3)}" data-tex="f(x)=\frac{1}{(x+2)(x-3)}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -2.172ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.214ex" height="5.208ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 9818.4 2302" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3233.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(3042.4,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-710)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1183.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2183.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2683.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3072.4,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3461.4,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4255.7,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5255.9,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5755.9,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g><rect width="6344.9" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
يجعل المقام صفراً عند:
- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x=-2" data-tex="x=-2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.203ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 3183.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2683.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x=3" data-tex="x=3" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.69ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2405.6 747" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></span>
لذلك يكون لدينا خطا تقارب رأسيان.
وبشكل عام، يمكن أن تمتلك الدالة النسبية أي عدد من خطوط التقارب الرأسية بحسب عدد جذور المقام.
خطوط التقارب الأفقية
أما خطوط التقارب الأفقية فلا يمكن أن يكون منها أكثر من واحد.
إما أن يوجد خط تقارب أفقي واحد، أو لا يوجد أي خط تقارب أفقي.
ويعتمد وجوده على مقارنة أعلى أس في البسط مع أعلى أس في المقام.
الحالة الأولى: درجة المقام أكبر من درجة البسط
إذا كانت درجة المقام أكبر من درجة البسط، فإن خط التقارب الأفقي يكون:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=0" data-tex="y=0" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.257ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2323.6 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></div>
مثل الدالة:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(x)=\frac{1}{x}" data-tex="f(x)=\frac{1}{x}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.577ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.605ex" height="4.613ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 4245.6 2039" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3233.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(256,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,-686)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><rect width="772" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
أو:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(x)=\frac{x}{x^2}" data-tex="f(x)=\frac{x}{x^2}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.654ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.593ex" height="4.183ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1118 4682.1 1848.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3233.6,0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(438.3,676)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(220,-719.9)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,289) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><rect width="1208.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
وفي كلتا الحالتين يكون خط التقارب الأفقي:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=0" data-tex="y=0" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.257ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2323.6 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></div>
الحالة الثانية: درجة البسط تساوي درجة المقام
إذا كانت أعلى قوة في البسط تساوي أعلى قوة في المقام، فإن خط التقارب الأفقي يساوي نسبة المعاملين الرئيسيين.
فمثلاً:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(x)=\frac{2x^2+1}{3x^2+x}" data-tex="f(x)=\frac{2x^2+1}{3x^2+x}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.814ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.784ex" height="5.23ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1509.9 6976.6 2311.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3233.6,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(256,676)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,363) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1730.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2731,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,-719.9)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,289) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1730.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2731,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g><rect width="3503" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
فإن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=\frac{2}{3}" data-tex="y=\frac{2}{3}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.602ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.252ex" height="4.638ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 2763.6 2050" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1823.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
هو خط التقارب الأفقي.
الحالة الثالثة: درجة البسط أكبر من درجة المقام
إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام، فلا يوجد خط تقارب أفقي.
وفي هذه الحالة قد تظهر أنواع أخرى من خطوط التقارب، لكن لا يوجد تقارب أفقي.
الخلاصة
الدوال النسبية هي دوال تحتوي على بسط ومقام، ولذلك يجب ألا يساوي المقام صفراً.
ومن أهم خصائصها:
- خطوط التقارب الرأسية تظهر عند جميع قيم <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> التي تجعل المقام صفراً، وقد يكون للدالة أكثر من خط تقارب رأسي. - خطوط التقارب الأفقية تعتمد على مقارنة درجة البسط ودرجة المقام. - إذا كانت درجة المقام أكبر، فإن خط التقارب الأفقي هو <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y=0" data-tex="y=0" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.257ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2323.6 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></span>. - إذا تساوت الدرجتان، فإن خط التقارب الأفقي يساوي نسبة المعاملين الرئيسيين. - إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام، فلا يوجد خط تقارب أفقي.
عن هذا الدرس
الدوال النسبية f(x)=P(x)/Q(x) وخطوط التقارب: التقارب الرأسي عند جذور المقام، والتقارب الأفقي بمقارنة درجتي البسط والمقام (y=0، نسبة المعاملين، أو لا… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.