الصورة القياسية للمعادلة الخطية أ س + ب ص = ج: الشروط وإيجاد أ و ب و ج مع أمثلة محلولة

المعادلة الخطية تصف خطاً مستقيماً في هذا الدرس راح ناخذ الصورة القياسية للمعادلة الخطية. والمقصود بالمعادلة الخطية هي المعادلة اللي توصف لنا خطاً مستقيماً. فلو رسمنا هذه المعادلة بيانياً على المحور السيني والصادي راح يطلع معانا مستقيم: ممكن يكون المستقيم هذا أفقي، ممكن يكون عمودي، وممكن يكون مائل.

الصورة القياسية العامة هذه الصورة القياسية العامة: أ س + ب ص = ج. الألف والباء والجيم عبارة عن أرقام لها شروط.

بالنسبة للألف فلازم تكون أعلى من أو تساوي صفر ويكون عدد صحيح، يعني أي عدد صحيح يساوي صفر أو عدد موجب أعلى من الصفر.

الباء والجيم تكون أي أعداد صحيحة، سواء كانت سالبة أو صفر أو موجبة.

شرط أخير: أن الألف والباء ما يساوون صفر مع بعض. لأن لو الألف ساوى صفر راح يلغي الحد الأول (س)، ولو الباء أيضاً معه ساوى صفر راح يلغي الحد الثاني (ص)، فكذا ما راح يصير عندنا معادلة خطية.

أما شرط العامل المشترك الأكبر لها واحد، فمعناه أن نكون بسّطنا هذه المعادلة لأبسط شكل ممكن.

مثال: ٣س + ٢ص = ٥ خلونا نشوف أمثلة. لو عندنا ٣س + ٢ص = ٥، فالآن عندنا الألف هي معامل السين: الثلاثة. الباء هو معامل الصاد: الاثنين. والجيم هو الرقم اللي لحاله: الخمسة.

دائماً الألف هو معامل السين، الباء هو معامل الصاد، والجيم هو العدد الذي يكون لحاله.

لو تغيّر ترتيب المعادلة: ص = ٤ − ٣س فحتى لو غيّرت ترتيب المعادلة، لو قلت لك ص = ٤ − ٣س، فالآن أنا عندي السين وعندي الصاد وعندي عدد لحاله. محتاج أني فقط أعيد ترتيب هذه المعادلة عشان تصير على شكل المعادلة القياسية التي شفناها: أ س + ب ص = ج.

ما الذي أفعله؟ لدي هنا −٣س، أزوّد عليها ٣س على اليسار، وأزوّد ٣س على الطرف اليمين. الآن −٣س تذهب مع +٣س بالنسبة لجهة اليسار، أما بالنسبة لجهة اليمين فستصير عندي ص + ٣س.

الآن قدرت أخلي الجيم، الأربعة، لحالها. ولكن لدي هنا محتاج إعادة ترتيب: السين يجب أن تصير قبل الصاد. فأقدر أن أشيل الـ ٣س وأخليها في البداية، وأخلي الصاد بعدها: ٣س + ص = ٤. مجرد إعادة ترتيب في حد واحد لا تؤثر، ومسموحة.

خلاص صار عندي هذه المعادلة بشكلها القياسي: الألف عبارة عن ٣ معامل السين، الباء ١ معامل الصاد، والجيم هي عبارة عن الأربعة، الرقم اللي لحاله.

ودائماً عشان نطلع الألف والباء والجيم لازم نحط المعادلة بشكلها القياسي. لو استعجلنا في بداية المسألة وشفنا الألف سنجدها −٣، ولكن أولاً نضعها بشكلها القياسي، ثم نحضر أين الألف والباء والجيم.

الألف وحدها صفر: ٣ص = −١ لاحظ في تعريف الشكل القياسي قلنا المهم أن الألف والباء ليسوا صفر مع بعض. لو وجدنا معادلة مثلاً ٣ص = −١، فالآن لدي الباء معامل الصاد تساوي ٣، وعندي الجيم −١، بينما السين ليست موجودة، معناته معاملها الألف يساوي صفر. فالآن عندي الألف فقط تساوي صفر، فهذه ما زالت معادلة خطية.

لو كان المعامل كسراً: ١/٣ ص = −١ مثال ثاني: لو قلنا ١/٣ ص = −١. الآن معامل الصاد، الباء، يساوي ١/٣. ونحن نعرف أن شرط الباء أنها تكون عدداً صحيحاً وليس كسراً. فكيف نحوّل الواحد على ثلاثة إلى عدد صحيح؟ من الممكن نضرب في ثلاثة، المقام. ودائماً ما ننسى نضرب الطرفين: نضرب الطرف اليمين في ثلاثة، فالثلاثة مع الثلاثة تنحذف، ويبقى ص، والطرف الثاني يساوي −٣.

فكذا صارت الباء تساوي ١، والألف صفر، والجيم −٣.

مثال أخير: ١/٤ س = ٢ إذا قلنا ١/٤ س = ٢، الآن نفس ما سوّينا: نتخلص من الكسر، نضرب ٤ في الطرفين. نضرب ١/٤ في الطرف اليمين، تروح الأربعة مع الأربعة، تبقى عندنا س تساوي ٢ × ٤ = ٨.

فالآن هذه المعادلة س = ٨. فنقدر نطلع الألف اللي هو معامل السين: واحد. ما عندنا صاد، معناته معامل الصاد اللي هو الباء يساوي صفر. أما الجيم فراح تساوي ٨.