ملخص الدالة الأسية: حالات الأساس الأربع وسبب النمو والاضمحلال

أهم نقطة تميز الدوال الأسية أن المتغير موجود في الأس وليس في الأساس، فنلاقي x موجودة في الأس. النقطة الثانية: عندنا أربع حالات للأساس، وهذه قدامنا أربع رسمات.

الأساس يساوي 1

هنا حطينا الأساس يساوي 1، فما طلع معانا دالة أسية، طلع معانا دالة ثابتة كأنها y = 1، فنطلعها من الدوال الأسية.

الأساس سالب

هنا حطينا الأساس سالب، فلما حطينا الأساس سالب نشوف كيف النقاط مبعثرة فوق وتحت، وعندنا قيم كثيرة ما قدرنا نطلعها في عالم الأعداد الحقيقية. فمثلًا لما x تساوي نص معناتها نطلع الجذر التربيعي لعدد سالب، وهذا شيء ما نقدر نحصل عليه في عالم الأعداد الحقيقية. فعشان كذا نستثني أو نطلع الأساس إذا كان سالبًا.

بقى معانا الحالتين هذول اللي طلع معانا فيهما دالة أسية.

الأساس أكبر من 1

هنا الأساس عندنا أعلى من الواحد، عشان كذا طلع عندنا دالة متزايدة إذا رحنا لليمين، أما إذا رحنا لليسار فنلاقيها تقترب إلى الصفر.

والسبب أن لو أخذنا أساسًا أعلى من الواحد، نقول 5 مثلًا، فكلما رحنا لليمين نقول 5 أس 6، 5 أس 7، 5 أس 8، 5 أس 10، بعدين 5 أس 20، فإحنا في زيادة مستمرة. أما اليسار فالزيادة هذه تكون في المقام لأن الأس سالب، فننزل في المقام ونقول 1 تقسيم 5 أس 8 مثلًا، 1 تقسيم 5 أس 10 وهكذا، فينزل الرقم ويقترب إلى الصفر.

الأساس بين 0 و 1

عكس الكلام هذا في الحالة الأخيرة اللي اخترنا فيها أساسًا ما بين الصفر والواحد. فلاحظ أن عندنا على اليمين الدالة متناقصة، نسميها دالة الاضمحلال لأنها تقترب إلى الصفر إذا اتجهنا لليمين. أما على اليسار فهي متزايدة وتروح إلى ما لا نهاية.

والسبب عكس اللي قلنا قبل شوي: لو عندنا الأساس ما بين الصفر والواحد، نص مثلًا، فلما نروح على اليمين فإحنا نضرب النص في نفسه أكثر من مرة، والكسر إذا كان ما بين الصفر والواحد لما نضربه في نفسه يصغر. فمثلًا نص أس 2 عبارة عن 1 على 4، ونص أس 3 عبارة عن 1 على 8 وهكذا. أما على الجهة اليسار فالعدد هذا اللي قاعد يصغر موجود في المقام، فإذا كان العدد الصغير في المقام فمعناتها العدد الكلي قاعد يرتفع.

وهذه فكرة ملخص الدوال الأسية.