خطوات إيجاد الدالة العكسية: ثلاث خطوات وخطوة رابعة مخفية بأمثلة محلولة

خطوات إيجاد الدالة العكسية

ثلاث خطوات رئيسية نطبقها على معادلة الدالة عشان نطلع دالتها العكسية، وفيه خطوة رابعة مخفية.

فعندنا هنا معادلة الدالة f(x) = (x − 1)/(x + 2) ونبغى نطلع دالتها العكسية.

الخطوة الأولى

نشيل f(x) ونحط بدالها y، فيصير عندنا y = (x − 1)/(x + 2).

الخطوة الثانية

ناخذ الـ y ونحط بدالها x، والـ x نحط بدالها y. نستبدل: الـ y هنا تصير x، والـ x اللي هنا يصيرون y. فتصير x = (y − 1)/(y + 2). هذه الخطوة الثانية.

الخطوة الثالثة

نحل للـ y وليس للـ x. فعشان نحل للـ y هنا نضرب في المقام اللي هو y + 2، بعدين ناخذ العامل المشترك، يصير y(x − 1) = −2x − 1، بعدين نحل للـ y تطلع y = (−2x − 1)/(x − 1).

فالآن هذه هي معادلة الدالة العكسية. نستطيع أن نشيل y ونضع بدالها f⁻¹(x).

السالب واحد هنا معناتها دالة عكسية وليس أسًّا، وهذه النقطة يجب أن ننتبه لها. فهذا هو رمز الدالة العكسية.

الخطوة الرابعة المخفية

النقطة الرابعة المخفية أن قبل أن نبدأ هذه الخطوات يجب أن نتأكد أن الدالة أساسًا لها دالة عكسية. كما رأينا في الدرس السابق، نطبق عليها اختبار الخط الأفقي. إذا اجتازت اختبار الخط الأفقي، كما رأينا هنا، فمعناتها نستطيع تطبيق الخطوات الثلاث ويوجد لها دالة عكسية.

مثال ثانٍ

لو لدينا f(x) = √(x − 4).

الخطوة الأولى: نشيل f(x) ونضع بدالها y.

الخطوة الثانية: نشيل الـ y ونضع بدلها x ونستبدل الـ x بـ y، فنضع هنا x = √(y − 4).

الخطوة الثالثة: الآن نحل للـ y. نربّع الطرفين فيظهر عندنا x² = y − 4، ثم نعزل الـ y فتظهر عندنا y = x² + 4. فهذه معادلة الدالة العكسية.

نستطيع أن نشيل الـ y الآن ونضع بدالها رمز الدالة العكسية، وهو f inverse أو معكوس f لـ x: f⁻¹(x) = x² + 4.

ودائمًا لا ننسى اختبار الخط الأفقي للدالة الأصلية لكي نتأكد قبل أن نبدأ في هذه الخطوات الثلاث.

مثال ثالث

وأخيرًا عندنا مثال ثالث: لو عندنا الدالة f(x) = √(x² − 20).

في هذه الحالة قبل ما نبدأ نرسم الدالة، ونلاقيها لا تجتاز اختبار الخط الأفقي، لأن الخط الأفقي يقطعها في أكثر من نقطة. فنقول خلاص: لا يوجد لها دالة عكسية.