إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية
نفرض العرض = س، فالطول = س + ٣، والمساحة = س(س + ٣) = ٤٠:
إكمال المربع
في هذا الدرس سنتعلم طريقة إكمال المربع، ولماذا نحتاج إليها.
لماذا نستخدم إكمال المربع؟
نستخدم إكمال المربع في عدة تطبيقات، من أهمها حل المعادلات التربيعية.
وتساعدنا هذه الطريقة على تحويل المعادلة إلى صورة تحتوي على مربع كامل، مثل (س + أ)² = ب، وبعد ذلك نستطيع أخذ الجذر التربيعي للطرفين والتخلص من التربيع، فتتحول المعادلة إلى معادلة من الدرجة الأولى يسهل حلها.
فكرة إكمال المربع
نحن معتادون على فك مربع مجموع حدين: (أ + ب)² = أ² + ٢أب + ب².
أما في إكمال المربع فنقوم بالعكس، حيث نحول تعبيرًا تربيعيًا إلى مربع كامل باستخدام عدة خطوات.
خطوات إكمال المربع
الخطوة الأولى: نتأكد أن معامل س² يساوي ١. إذا لم يكن كذلك، نقسم جميع حدود المعادلة على معامل س². ويجب أن نطبق أي عملية على طرفي المعادلة حتى تبقى المعادلة صحيحة.
الخطوة الثانية: نأخذ معامل س، ثم نقسمه على ٢، ثم نربع الناتج. وهذا العدد نضيفه إلى طرفي المعادلة.
مثال
لدينا المعادلة: س² + ٦س + ٥ = ٠.
الخطوة الأولى: معامل س² يساوي ١، إذن لا نحتاج إلى القسمة.
الخطوة الثانية: معامل س هو ٦. نقسمه على ٢ فيصبح ٣، ثم نربع الناتج: ٣² = ٩. نضيف ٩ إلى طرفي المعادلة: س² + ٦س + ٥ + ٩ = ٩، ثم ننقل ٥ إلى الطرف الآخر: س² + ٦س + ٩ = ٤.
تكوين المربع الكامل
الطرف الأيسر أصبح مربعًا كاملاً، لذلك يمكن كتابته على الصورة (س + ٣)² = ٤.
أخذ الجذر التربيعي
نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: س + ٣ = ±٢.
ونتذكر دائمًا أن جذر ٤ يساوي ±٢، لأن ٢² = ٤ وكذلك (−٢)² = ٤.
إيجاد الحلول
الحل الأول: س + ٣ = ٢، إذن س = −١.
الحل الثاني: س + ٣ = −٢، إذن س = −٥.
الحل النهائي: حلول المعادلة هي س = −١ أو س = −٥.
ملاحظات مهمة
يجب أن يكون معامل س² مساويًا لـ ١ قبل البدء بإكمال المربع.
العدد الذي نضيفه يساوي مربع نصف معامل س.
أي عملية نجريها على أحد طرفي المعادلة يجب إجراؤها على الطرف الآخر.
بعد تكوين المربع الكامل نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإكمال الحل.
عن هذا الدرس
خطوات إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية: جعل معامل س² يساوي ١، ثم أخذ نصف معامل س وتربيعه وإضافته للطرفين، ثم كتابة المربع الكامل (س + أ)² = ب وأخذ… هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج المرحلة المتوسطة ثالث متوسط في أكاديمية موسى.