تحليل عميق للدلة التربيعية

الدالة التربيعية

في هذا الدرس سنتعلم كيف نفهم الدالة التربيعية من معادلتها، ونتعرف على خصائصها، وشكلها البياني، واستخداماتها، وكيفية تحديد اتجاهها ورأسها وجذورها.

لماذا سميت الدالة التربيعية؟

سميت الدالة التربيعية لأن أكبر أس للمتغير س في معادلتها يساوي ٢.

أي أن أعلى قوة تظهر في المعادلة هي س²، ولا يوجد فيها س³ أو س⁴ أو أي أس أعلى من ٢.

يمكن أن تحتوي المعادلة على س أو حد ثابت، لكن يجب ألا يكون هناك أس أكبر من ٢.

الشكل القياسي للدالة التربيعية

تكتب الدالة التربيعية بالشكل القياسي التالي:

د(س) = أ س² + ب س + ج

حيث:

• أ هو معامل س². • ب هو معامل س. • ج هو الحد الثابت.

ويشترط أن يكون:

أ ≠ ٠

لأن جعل أ = ٠ يلغي الحد التربيعي، وبالتالي لا تصبح الدالة تربيعية.

شكل منحنى الدالة التربيعية

التمثيل البياني للدالة التربيعية يكون دائمًا على شكل قطع مكافئ.

وقد يكون:

• مفتوحًا إلى أعلى. • أو مفتوحًا إلى أسفل.

ولا يوجد شكل آخر للدالة التربيعية.

استخدامات الدالة التربيعية

تستخدم الدالة التربيعية في تمثيل الظواهر التي يحدث فيها:

• ارتفاع حتى الوصول إلى قيمة عظمى ثم انخفاض. • أو انخفاض حتى الوصول إلى قيمة صغرى ثم ارتفاع.

ومن أشهر الأمثلة:

• حركة الكرة عند رميها. • حركة الماء في النافورة. • حركة المقذوفات. • العديد من التطبيقات الفيزيائية والهندسية.

اتجاه القطع المكافئ

يعتمد اتجاه فتح المنحنى على إشارة معامل أ.

إذا كان:

أ > ٠

فإن القطع المكافئ يفتح إلى أعلى.

أما إذا كان:

أ < ٠

فإن القطع المكافئ يفتح إلى أسفل.

رأس الدالة التربيعية

رأس القطع المكافئ هو النقطة التي تمثل أعلى أو أدنى نقطة في المنحنى.

ويتكون من:

• إحداثي أفقي. • وإحداثي عمودي.

الإحداثي الأفقي للرأس

لحساب الإحداثي الأفقي للرأس نستخدم:

س = −ب ÷ (٢أ)

وهذه المعادلة هي نفسها معادلة محور التناظر.

الإحداثي العمودي للرأس

بعد إيجاد قيمة س نعوض بها في الدالة:

ص = د(س)

فتكون النتيجة هي الإحداثي العمودي للرأس.

كما يمكن استخدام العلاقة المباشرة:

ص = ج − (ب² ÷ ٤أ)

لإيجاد الإحداثي العمودي مباشرة.

محور التناظر

محور التناظر هو المستقيم الذي يمر برأس القطع المكافئ ويقسم المنحنى إلى نصفين متطابقين.

ومعادلته هي:

س = −ب ÷ (٢أ)

جذور الدالة التربيعية

جذور الدالة هي نقاط تقاطع المنحنى مع محور س.

ويمكن إيجادها عندما:

د(س) = ٠

أو عندما:

ص = ٠

وهما يعبران عن نفس الفكرة.

الحالة الأولى: جذران حقيقيان مختلفان

إذا قطع المنحنى محور س في نقطتين مختلفتين، فإن الدالة تمتلك جذرين حقيقيين مختلفين.

وتحدث هذه الحالة عندما يكون رأس المنحنى في الجهة المقابلة لاتجاه فتح القطع المكافئ.

الحالة الثانية: جذران غير حقيقيين

إذا لم يقطع المنحنى محور س إطلاقًا، فإن الجذور لا تظهر على الرسم البياني.

وفي هذه الحالة تكون الجذور غير حقيقية، وتنتمي إلى مجموعة الأعداد المركبة.

الحالة الثالثة: جذر حقيقي مكرر

إذا لامس رأس القطع المكافئ محور س دون أن يقطعه، فإن الجذرين يتطابقان.

وفي هذه الحالة يكون للدالة جذر حقيقي واحد مكرر.

القيم العظمى والصغرى

إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى، فإن رأسه يمثل القيمة الصغرى للدالة.

أما إذا كان مفتوحًا إلى أسفل، فإن الرأس يمثل القيمة العظمى للدالة.

ملخص الدرس

• الدالة التربيعية هي الدالة التي يكون أكبر أس فيها للمتغير س هو ٢. • تكتب بالشكل القياسي: د(س) = أ س² + ب س + ج. • يجب أن يكون أ ≠ ٠. • شكلها البياني دائمًا قطع مكافئ. • اتجاه الفتحة يعتمد على إشارة أ. • رأس الدالة يمثل أعلى أو أدنى قيمة للمنحنى. • محور التناظر معادلته: س = −ب ÷ (٢أ). • جذور الدالة هي نقاط تقاطعها مع محور س. • قد تكون الجذور حقيقية مختلفة، أو حقيقية مكررة، أو غير حقيقية حسب شكل المنحنى.