الدالة التربيعية

الدالة التربيعية

في هذا الدرس سنتعرف على الدالة التربيعية وشكلها وخصائصها.

الشكل القياسي للدالة التربيعية هو: د(س) = أ س² + ب س + ج.

لماذا سميت دالة تربيعية؟

سميت دالة تربيعية لأن أعلى أس في المعادلة هو س². فإذا أصبح أعلى أس س³ أو س⁴ فإنها لا تعد دالة تربيعية.

ولكي تبقى الدالة تربيعية يجب أن يكون أ ≠ ٠، لأن جعل أ = ٠ يلغي الحد س²، وبالتالي لا تعود المعادلة تربيعية.

شكل الدالة

يكون شكل الدالة التربيعية قطعاً مكافئاً.

إذا كان أ > ٠ فإن المنحنى يفتح إلى أعلى، وفي هذه الحالة يكون رأس المنحنى هو أقل قيمة للدالة.

أما إذا كان أ < ٠ فإن المنحنى يفتح إلى أسفل، وفي هذه الحالة يكون رأس المنحنى هو أكبر قيمة للدالة.

متى نستخدم الدالة التربيعية؟

نستخدمها في دراسة الظواهر التي ترتفع إلى قيمة عظمى ثم تبدأ بالانخفاض، أو تنخفض إلى قيمة صغرى ثم تبدأ بالارتفاع.

ومن أشهر الأمثلة: حركة الكرة بعد رميها، وحركة المقذوفات، وأي ظاهرة لها مسار على شكل قطع مكافئ.

تأثير المعاملات

أولاً المعامل أ، وهو معامل س²: إذا كان موجباً فإن المنحنى يفتح إلى أعلى، وإذا كان سالباً فإن المنحنى يفتح إلى أسفل.

ثانياً المعامل ج، وهو يحرك المنحنى رأسياً: إذا كان موجباً ينتقل المنحنى إلى أعلى، وإذا كان سالباً ينتقل المنحنى إلى أسفل.

ثالثاً المعامل ب، ويرتبط بمحور التماثل، ومعادلة محور التماثل هي: س = −ب ÷ ٢أ. إذا كانت ب موجبة فإن رأس المنحنى يتحرك نحو اليسار، وإذا كانت ب سالبة فإن رأس المنحنى يتحرك نحو اليمين.

جذور الدالة التربيعية

بما أن أعلى أس في المعادلة هو ٢ فإن للدالة جذرين. والجذور هي نقاط تقاطع المنحنى مع محور س.

حالات الجذور

الحالة الأولى: وجود جذرين حقيقيين مختلفين، أي أن المنحنى يقطع محور س في نقطتين.

الحالة الثانية: وجود جذر حقيقي مكرر، ويحدث عندما يلامس رأس المنحنى محور س.

الحالة الثالثة: عدم وجود جذور حقيقية، ويحدث إذا كان المنحنى يفتح إلى أعلى ورأسه فوق محور س، أو كان يفتح إلى أسفل ورأسه أسفل محور س. وفي هذه الحالة توجد جذور مركبة (غير حقيقية).

القيم القصوى

إذا كان أ > ٠ فإن رأس المنحنى يمثل القيمة الصغرى للدالة. أما إذا كان أ < ٠ فإن رأس المنحنى يمثل القيمة العظمى للدالة.

إيجاد رأس المنحنى

أولاً نحسب إحداثي س باستخدام محور التماثل: س = −ب ÷ ٢أ.

ثم نعوض بهذه القيمة في الدالة: ص = د(−ب ÷ ٢أ).

فتكون إحداثيات رأس المنحنى: (−ب ÷ ٢أ ، د(−ب ÷ ٢أ))، وهي تمثل القيمة الصغرى إذا كان المنحنى مفتوحاً لأعلى، والقيمة العظمى إذا كان المنحنى مفتوحاً لأسفل.

ملاحظات مهمة

الدالة التربيعية دائماً من الدرجة الثانية، ويجب أن يكون أ ≠ ٠. اتجاه فتح المنحنى يعتمد على إشارة أ. محور التماثل معادلته س = −ب ÷ ٢أ. رأس المنحنى يمثل القيمة العظمى أو الصغرى للدالة. وجذور الدالة هي نقاط تقاطعها مع محور س.