لماذا مشتقة ال cos عبارة عن سالب sin (لماذا الإشارة السالبة؟)

ملخص

مشتقة cos وتكاملها في خمس نقاط

• القانون: ، و .

• المشتقة = ميل المماس: عند كل نقطة على منحنى cos، ميل المماس يساوي .

• لماذا السالب؟ بعد الصفر مباشرة ينزل cos من 1، فالميل سالب بينما sin موجب، فلا بدّ من إشارة سالبة.

• على دائرة الوحدة: cos هو الظلّ الأفقي للنقطة، وهو يتناقص كلما دارت النقطة عكس عقارب الساعة.

• التكامل = المساحة: المساحة تحت cos من 0 إلى تساوي ؛ ما تحت المحور يُحسب سالباً.

قانون

مشتقة cos هي سالب sin

• عند : القمة، المماس أفقي، الميل .
• عند : المنحنى ينزل بأقصى انحدار، الميل .
• عند : القاع، المماس أفقي، الميل .
• عند : المنحنى يصعد بأقصى انحدار، الميل .

لماذا؟

من أين جاءت الإشارة السالبة؟

• سرعة تغيّر الإحداثي الأفقي تساوي (بالقيمة) الإحداثي الرأسي ، لكنها في اتجاه النقصان.
• تناقص = مشتقة سالبة. لذلك: • قارن مع (الإحداثي الرأسي): في الربع الأول يصعد، ومشتقته موجبة، فلا إشارة سالبة هناك.

العمودان الأخيران متطابقان في كل سطر، وهذا هو معنى .

قانون

تكامل cos هو sin

• المعنى الهندسي: المساحة المحصورة بين منحنى cos والمحور من 0 إلى تساوي .
• المنطقة الداكنة حيث مساحة موجبة، والفاتحة حيث مساحة سالبة.
• المنحنى المتقطّع يرتفع ما دامت المساحة المضافة موجبة، وينخفض عندما تصبح سالبة.

ملاحظة

المشتقة والتكامل وجهان لعملية واحدة

• و .
• الإشارة السالبة تظهر في المشتقة فقط؛ في التكامل لا سالب لأن مشتقة هي الموجبة نفسها.
• تذكّر الدورة: عند الاشتقاق المتكرر.