قواعد قابلية الأعداد للقسمة بدون باقي

ملخص

قواعد القسمة في ست نقاط

• 2 و 5 و 10: انظر إلى الآحاد فقط: زوجي للقسمة على 2، و 0 أو 5 على 5، و 0 على 10.

• 4 و 8: آخر رقمين ÷ 4، آخر ثلاثة أرقام ÷ 8.

• 3 و 9: مجموع الأرقام ÷ 3 أو ÷ 9، و6 = 2 و 3 معاً.

• 11: (مجموع الخانات الفردية) − (الزوجية) = 0 أو مضاعف 11.

• 7: اطرح ضعف الآحاد من باقي العدد وكرّر.

• السبب: باقي قسمة قوى 10 على العدد المختبَر.

تعريف

قاعدة القسمة — اختبار سريع بلا قسمة

ثلاثة أنواع من القواعد:
• النظر إلى آخر الأرقام: القسمة على 2، 5، 10، 4، 8
• جمع الأرقام: القسمة على 3، 9، 6
• قواعد خاصة: القسمة على 11 و 7

قاعدة

القواعد التي تعتمد على آخر الأرقام

القسمة على 2: يقبل العدد القسمة على 2 إذا كان آحاده زوجياً. الأمثلة: 34 آحاده 4 زوجي ✓ ، 58 آحاده 8 زوجي ✓ ، 126 آحاده 6 زوجي ✓

القسمة على 5: يقبل العدد القسمة على 5 إذا كان آحاده صفراً أو 5.
الأمثلة: 470 آحاده 0 ✓ ، 835 آحاده 5 ✓ ، 90 آحاده 0 ✓

القسمة على 10: يقبل العدد القسمة على 10 إذا كان آحاده صفراً.
الأمثلة: 470 ✓ ، 830 ✓ ، 1200 ✓
ملاحظة: كل عدد يقبل القسمة على 10 يقبل القسمة على 2 و 5 معاً، لأن .

القسمة على 4: يقبل العدد القسمة على 4 إذا كان العدد المكوّن من آخر رقمين (الآحاد والعشرات) يقبل القسمة على 4.
الأمثلة: 7532 آخر رقمين ✓ ، 916 آخر رقمين ✓ ، 248 آخر رقمين ✓

القسمة على 8: يقبل العدد القسمة على 8 إذا كان العدد المكوّن من آخر ثلاثة أرقام يقبل القسمة على 8.
الأمثلة: 65120 آخر ثلاثة أرقام ✓ ، 1160 آخر ثلاثة أرقام ✓ ، 4024 آخر ثلاثة أرقام ✓

قاعدة

القواعد التي تعتمد على مجموع الأرقام

القسمة على 3: يقبل العدد القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3.
الأمثلة: 612 ← و ✓ ، 72 ← ✓ ، 141 ← ✓

القسمة على 9: يقبل العدد القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9.
الأمثلة: 612 ← ✓ ، 729 ← ✓ ، 846 ← ✓
ملاحظة: كل عدد يقبل القسمة على 9 يقبل القسمة على 3 أيضاً، والعكس غير صحيح.

القسمة على 6: يقبل العدد القسمة على 6 إذا كان يقبل القسمة على 2 و 3 معاً. الأمثلة: 612 زوجي ✓ ومجموع أرقامه ✓ ، 138 زوجي ✓ ومجموع أرقامه ✓ ، 354 زوجي ✓ ومجموع أرقامه ✓

قاعدة

القواعد الخاصة: 11 و 7 — خطوة حسابية إضافية لكنها أسرع من القسمة الطويلة

القسمة على 11: نجمع أرقام الخانات الفردية ونجمع أرقام الخانات الزوجية، فإذا كان الفرق بينهما صفراً أو من مضاعفات 11 قَبِل العدد القسمة على 11.
الخطوة 1: اجمع الأرقام في الخانات الفردية (الآحاد، المئات، ...)
الخطوة 2: اجمع الأرقام في الخانات الزوجية (العشرات، الآلاف، ...)
الخطوة 3: اطرح المجموعين وانظر إلى الفرق
الأمثلة: 4356 ← ✓ ، 5390 ← ✓ ، 2728 ← ✓

القسمة على 7: احذف رقم الآحاد، ثم اطرح ضعفه من باقي العدد. إذا كان الناتج يقبل القسمة على 7 قَبِل العدد الأصلي القسمة على 7.
الخطوة 1: افصل رقم الآحاد عن بقية العدد
الخطوة 2: اضرب رقم الآحاد في 2
الخطوة 3: اطرح الناتج من بقية العدد وافحص هل يقبل القسمة على 7
الأمثلة: 385 ← ✓ ، 203 ← ✓ ، 721 ← ✓
ملاحظة مهمة: هذه القاعدة الأصعب. إن لم تتذكرها، يكفي أن تقسم على 7 مباشرة فهو الأسهل غالباً.

لماذا؟

لماذا تعمل هذه القواعد؟ السرّ في باقي قسمة 10 على العدد الذي نختبره

قواعد 3 و 9: باقي قسمة 10 على 3 أو على 9 يساوي 1، وكذلك باقي 100 و 1000 وكل قوى 10. لذلك كل خانة تساهم برقمها فقط في الباقي، ويكفي جمع الأرقام.

قاعدة 11: باقي قسمة 10 على 11 يساوي ، فتتناوب الإشارة بين الخانات. لذلك نستخدم الجمع بالتناوب: الفرق بين الخانات الفردية والزوجية.

قواعد 2 و 4 و 5 و 8 و 10: قوى 10 تقبل القسمة على هذه الأعداد ابتداءً من حدٍّ معيّن. لذلك يكفي النظر إلى آخر رقم أو رقمين أو ثلاثة، لأن ما قبلها يقبل القسمة تلقائياً. القواعد كلها صحيحة رياضياً ولها براهين.

على أي الأعداد من 2 إلى 11 يقبل العدد 4356 القسمة؟
• 2: آحاده 6 زوجي ✓   • 5 و 10: آحاده ليس 0 ولا 5 ✗
• 4: آخر رقمين ✓   • 8: آخر ثلاثة أرقام ليس عدداً صحيحاً ✗
• 3 و 9: مجموع الأرقام يقبل القسمة على 3 و 9 ✓   • 6: زوجي ويقبل 3 ✓
• 11: ✓
• 7: ثم لا يقبل القسمة على 7 ✗