من أين جاء قانون جمع الأعداد المتتالية؟
نريد أن نعرف لماذا:
1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1)2
لنجمع الأعداد من 1 إلى 10. بدل الجمع واحداً واحداً، نُقرن الأول مع الأخير ثم الثاني مع ما قبل الأخير، وهكذا:
1 + 10 = 11
2 + 9 = 11
3 + 8 = 11
4 + 7 = 11
5 + 6 = 11
حصلنا على 5 أزواج، كل زوج مجموعه 11:
5 × 11 = 55
مجموع 1 إلى 10 = 55
لو جمعنا من 1 إلى 11، عدد الأعداد فردي، فيبقى العدد الأوسط 6 بلا زوج:
5 أزواج × 12 = 60
يبقى الأوسط 6
60 + 6 = 66
الطريقة تعمل، لكنها متعبة قليلاً — علينا أن نتذكّر العدد المتبقّي. لذلك نستخدم طريقة أذكى تعمل دائماً ↓
3التعميم: نكتب المجموع مرتين
نكتب المجموع مرة تصاعدياً ومرة تنازلياً، ثم نجمعهما عمودياً — فيصبح كل عمود (n + 1):
المجموع = 1 + 2 + 3 + … + n
المجموع = n + … + 3 + 2 + 1
كل عمود مجموعه (n + 1)، وعدد الأعمدة n، إذن:
2 × المجموع = n (n + 1)
نقسم الطرفين على 2:
المجموع = n (n + 1)2
💡 لاحظ جمال الفكرة: بمضاعفة المجموع اختفت مشكلة العدد المتبقّي — الطريقة تعمل سواء كان عدد الأعداد زوجياً أو فردياً.
4نتحقق
نجرّب القانون على المثالين السابقين:
n = 10 : 10 × 112 = 55 ✓
n = 11 : 11 × 122 = 66 ✓
النتائج نفسها — إذن القانون صحيح ✓
جاري تحميل التعليقات...
عن هذا الدرس
من أين جاء قانون جمع الأعداد المتتالية؟ نريد أن نعرف لماذا : 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1) 2 1 الفكرة: نُقرن الأول مع الأخير لنجمع الأعداد من 1 إلى 10 .… هذا الدرس ضمن العمليات الحسابية لمنهج القسم الكمي العمليات الحسابية و الإحصاء في أكاديمية موسى.