الصورة العامة لمعادلات القطوع المخروطية وتحديد الشكل باستخدام المميز

الصورة العامة لمعادلات القطوع المخروطية

هذه الصورة العامة لمعادلات القطوع المخروطية. ولاحظ فيه تربيع على حد x وعلى حد y. فدائمًا إذا شفنا معادلة فيها تربيع على x أو على y، مو شرط عليهم كلهم، فلازم نفكر أنها ممكن تكون قطع مخروطي.

المعاملات A و B و C

أول شيء نعرف المعاملات: معامل x تربيع هو A، ومعامل y تربيع هو C. أما بالنسبة لـ B فهي معامل x ضرب y؛ x ضرب y مع بعض معاملهم يكون B. وهذه المعاملات الثلاثة اللي تهمنا، وعن طريقها نقدر نحدد نوع القطع المخروطي.

جدول تصنيف القطوع المخروطية باستعمال المميز

وهذا قدامنا جدول تصنيف القطوع المخروطية باستعمال المميز. تذكرون المميز اللي درسناه في حل المعادلات التربيعية: B تربيع ناقص 4 في A في C. هذه القيمة نفسها هي اللي تحدد لنا نوع القطع المخروطي.

هو قطع مكافئ إذا كان المميز يساوي صفر. إذا كان المميز أعلى من صفر فعلى طول هو قطع زائد. أما إذا كان المميز أقل من صفر، يعني عدد سالب، فهو يا إمّا قطع ناقص أو دائرة.

الدائرة حالة خاصة من القطع الناقص

تذكرون لما قلنا أن الدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص، وهذا الكلام قاعدين نشوفه بالفعل قدامنا. فإذا كان المميز سالب فإحنا في حالة قطع ناقص، ولكن في الحالة الخاصة إذا كانت B تساوي صفر، يعني ما عندنا حد xy، و A تساوي C، يعني معامل x تربيع يساوي معامل y تربيع، فهنا يصير عندنا دائرة. وغير كذا راح يصير عندنا قطع ناقص إذا كان المميز سالب.

ليش ما نحوّل المعادلة إلى الصورة القياسية؟

طيب ممكن يجينا سؤال يقول: ليش ما أحوّل المعادلة إلى الصورة القياسية وبعدين أقرر؟ إحنا أخذنا الصور القياسية لمعادلة الدائرة والقطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ.

الجواب أن هنا عندنا حد مختلف عن الصور القياسية، ما كنا نشوفه في الصور القياسية، اللي هو x مضروبة في y.

الحد xy والقطوع المائلة

طيب ليش ما كنا نشوفه في الصور القياسية؟ الصور القياسية كنا نفترض أن القطوع المخروطية تكون رأسية أو أفقية، ولكن أحيانًا تكون لا أفقية ولا رأسية. يعني ممكن نشوف قطع ناقص مائل زي كذا، أو قطع مكافئ مائل زي كذا. فهذه الحالات ما كنا نغطيها في الصور القياسية، وهذه الحالات تظهر فقط إذا كان عندنا الحد x مضروب في y، ولها طريقة تعامل وشكل قياسي مختلف عن اللي تعلمناه.

ولكن اللي يهمنا الآن: إذا شفنا المعادلة العامة نقدر نحدد نوع الشكل، وطبعًا تحديد نوع الشكل بناءً على هذا الجدول.

وأخيرًا نقدر نستخدم هذا الجدول حتى لو كان التربيع على x فقط أو على y فقط، مو شرط يكون على x و y مع بعض. وإذا شفنا المعادلة ما فيها معامل x مضروب في y فنقدر نستخدم إكمال المربع عشان نحوّلها إلى الصور القياسية اللي أخذناها سابقًا.

مثال: 4x² + y² − 16x + 8y − 4 = 0 بالجدول

هنا عندنا مثال: 4x تربيع زائد y تربيع ناقص 16x زائد 8y ناقص 4 يساوي صفر. الآن نقدر نستخدم الجدول مباشرة ونقول إنها عبارة عن قطع ناقص.

ليش قطع ناقص؟ لأن A تساوي 4، و B تساوي صفر لأن ما عندنا حد x مضروبة في y، و C تساوي 1. فعلى طول راح يطلع عندي سالب 16، وأعرف أنه قطع ناقص. ليش ما قلت دائرة؟ لأن A ما تساوي C، لأن معامل x تربيع ما يساوي معامل y تربيع.

الطريقة الثانية: إكمال المربع

الطريقة الثانية أني أحوّل المعادلة إلى شكلها القياسي. نحط حدود x مع بعض: 4x تربيع ناقص 16x، زائد، نحط حدود y مع بعض: y تربيع زائد 8y، يساوي 4.

نطلّع الأربعة هنا عامل مشترك، بعدين نفتح قوس: x تربيع ناقص 4x، ونخلي الباقي زي ما هو.

الآن نقدر نكمل المربع في كل قوس. في القوس الأول ناخذ معامل x سالب 4، نقسمه على 2 ونربّعه، يطلع عندنا 4، نزوّد 4 هنا. القوس الثاني: معامل y نقسمه على 2 ونربّعه، يطلع عندنا 16، نزوّد هنا 16.

نروح الجهة اليمين ونزوّد نفس العدد اللي زوّدناه على الطرف اليسار. هنا زوّدنا 4 ولكنها مضروبة في الأربعة اللي برا القوس: 16. وهنا أيضًا زوّدنا 16، فنزوّد هنا 32.

الصورة القياسية للقطع الناقص

الآن تطلع عندنا المعادلة: الطرف اليمين 36، والطرف اليسار 4 في x ناقص 2 كل القوس تربيع، زائد y زائد 4 كل القوس تربيع.

عشان نخلي الطرف اليمين 1 نقسم على 36، يطلع عندنا هذه المعادلة: المقام الأول 9 والمقام الثاني 36. المقامات مختلفة، إذًا هو قطع ناقص زي ما توقعنا سابقًا.