ربط معادلات القطوع المخروطية بأشكالها: التربيع والإشارة والمقامات والمركز في الدائرة والقطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ

المعادلة والشكل

نقطة مهمة تساعدنا أن نتذكر معادلات القطوع المخروطية ونربط المعادلة بالشكل.

الدائرة: التربيع على الحدّين

دعونا نبدأ بالدائرة. هذه معادلتها القياسية. أولًا، دائمًا لاحظ التربيع: هل هو على حد واحد أو على الحدّين؟ عندنا هنا حد x وحد y، ففي الدائرة التربيع على الحدّين، حد x وحد y. هذه نقطة مهمة سنتابعها في باقي المعادلات.

المركز أو الرأس (h, k)

النقطة الثانية التي تتكرر في كل المعادلات: إحداثيات المركز أو الرأس، اللي هي h وk. تكون إحداثيات الرأس في القطع المكافئ، بينما في القطع الزائد والناقص والدائرة تكون إحداثيات المركز.

أهم شيء لاحظ أن علامة السالب هنا موجودة في المعادلة نفسها. فلو كان مركز الدائرة مثلًا عند النقطة (3, 3) فرح تكون هنا علامة السالب موجودة وهنا ثلاثة، وهنا سالب موجودة أيضًا وهنا ثلاثة. أما لو أخذنا مركز الدائرة وخلّيناه عند (−3, −3) فسيصير هنا زائد 3 وزائد 3، لأن سالب في سالب يعطي موجب.

الطرف الأيمن r²

النقطة الثالثة: الطرف اللي على اليمين. في معادلة الدائرة الطرف اللي على اليمين عبارة عن r تربيع وليس r، يعني العدد اللي هنا يكون نصف القطر تربيع، على أساس أن المعادلة محطوطة في صورتها القياسية. فلو كان هنا 16 معناته نصف القطر يساوي 4، ولو كان 25 معناته نصف القطر يساوي 5.

القطع الناقص: إشارة + وطرف أيمن 1

ننتقل الآن إلى القطع الناقص. القطع الناقص اسمه قطع ناقص ولكن العلامة ما بين حد x وحد y تكون زائد، عكس الاسم، عشان نتذكرها. الـh والـk نفس الدائرة، اللي هي إحداثيات المركز. الطرف الأيمن هنا عندنا 1؛ بالدائرة كان أي عدد مقبول، ولكن هنا في القطع الناقص الطرف الأيمن يساوي 1.

المقامات لازم تكون مختلفة

ونلاحظ اختلافًا كبيرًا أيضًا: صار عندنا مقامات تحت حد x وتحت حد y. وبما أن عندنا مقامات لازم تكون مختلفة، لأن المقامات لو تساوت فنقدر نلغيها. لو كان هنا المقام 9 وهنا 9، نقدر نضرب الطرفين بنفس الرقم ونلغي المقامات، ونصير نرجع إلى معادلة الدائرة.

المحور الأكبر والمحور الأصغر

وهذا الكلام مرتبط أيضًا هندسيًا بشكل القطع الناقص. فلو رحنا إلى شكل القطع الناقص رح نلاقي عندنا محورًا أكبر ومحورًا أصغر. وطول المحور الأكبر يساوي 2 في الجذر التربيعي للمقام الأكبر، أما طول المحور الأصغر فيساوي 2 في الجذر التربيعي للمقام الأصغر. ومن الشكل الهندسي مبيّن معانا: لو تساوى المحور الأكبر مع المحور الأصغر رح نرجع إلى شكل الدائرة. فكذا قدرنا نوفّق ما بين المعادلات والأشكال.

أفقي أو عمودي؟

القطع الناقص ممكن يكون أفقيًا زي كذا أو عموديًا زي كذا. يكون الشكل أفقيًا إذا كان المقام الأعلى، يعني الرقم الأكبر، تحت حد x، لأن هذا الرقم مرتبط بطول المحور الأكبر. طيب متى يكون القطع الناقص عموديًا أو رأسيًا؟ بكل بساطة إذا كان المقام الأعلى تحت حد y. فالآن قدرنا نربط ما بين الدائرة ومعادلتها وما بين القطع الناقص ومعادلته.

القطع الزائد: إشارة −

نروح إلى القطع الزائد. القطع الزائد، رغم أن اسمه القطع الزائد، ولكن العلامة ما بين الحدّين هنا تكون سالبة، ما بين حد x وحد y. الطرف الأيمن سيكون واحدًا زي القطع الناقص.

رسمة القطع الزائد رح تكون كذا: شكلين متعاكسين، وهنا يكون المركز، وهنا بؤرة وهنا بؤرة عند كل شكل. ومثل ما كان عندنا قطع ناقص عمودي وأفقي، نفس الشيء عندنا قطع زائد عمودي وأفقي؛ كذا يكون العمودي وكذا يكون الأفقي.

الحد الموجب يحدد اتجاه الفتحة

طيب، من المعادلات كيف نعرف أنه عمودي أو أفقي؟ لو رجعنا للمعادلة رح نلاقي عندنا حدًّا موجبًا وحدًّا سالبًا، فالحد الموجب هو اللي يحدد اتجاه فتحة القطع الزائد. فإذا كان حد x هو الموجب فمعناته يفتح على x، أو أفقي زي كذا. أما إذا كان الحد الموجب هو y فمعناته رح يفتح على y زي كذا ويكون عموديًا.

وفي القطع الزائد المقامات ما هو لازم أنها تكون مختلفة زي ما شفنا في القطع الناقص، لأن حتى لو تساوت فالشكل بعيد جدًا عن الدائرة؛ وهو كأن دائرة قسمناها إلى نصفين بعدين غيّرنا اتجاه الشكلين الناتجين.

القطع المكافئ: رأس وتربيع واحد

باقي عندنا الشكل الأخير اللي هو القطع المكافئ. القطع المكافئ ما فيه مركز بل فيه رأس، هذا نسميه رأسًا، فالـh والـk هنا تمثل إحداثيات الرأس. وأهم ميزة فيه أن التربيع يكون على حد واحد فقط، ما يكون على الحدّين. فإذا كان التربيع على حد x فمعناته رح يفتح رأسيًا زي كذا، وإذا كان التربيع على حد y فرح يفتح أفقيًا زي كذا.

تذكّر y = x²

وأسهل طريقة تذكّرنا وين يفتح القطع المكافئ: نتذكر دائمًا الدالة التربيعية y = x² اللي تفتح إلى الأعلى زي كذا. فهنا التربيع على حد x والدالة تفتح إلى الأعلى. ولو كان معامل حد x هنا سالبًا، مثلًا −4، فرح تفتح إلى الأسفل.

ولو غيّرنا إحداثيات رأس القطع المكافئ وخلّيناها (2, 3) مثلًا، فرح تصير المعادلة y − 3 = 4(x − 2)²؛ هذا يفتح إلى الأعلى، ولو خلّينا −4 هنا رح يفتح إلى الأسفل.