شرح تحضير مفهوم الدالة اللوغارتمية – ثاني ثانوي

١ العلاقة مع الدالة الأسية

الدالة الأسية

f(x) = b^x

نعرف الأس — نبحث عن النتيجة

الدالة اللوغاريتمية

f(x) = \log_b(x)

نعرف النتيجة — نبحث عن الأس

3^2 = 9 \;\;\longleftrightarrow\;\; \log_3(9) = 2

كل منهما معكوس الآخر — تناظر حول y = x

٢ الرسم التفاعلي — تأثير الأساس

—

الأساس b2.0

٣ نقاط التقاطع المميزة ▼

الأسية — تقطع محور y عند (0, 1) لأن b⁰ = 1

اللوغاريتمية — تقطع محور x عند (1, 0) لأن log_b(1) = 0

الأسية (0,1)

b^0 = 1

لأي قيمة b

اللوغاريتمية (1,0)

\log_b(1) = 0

لأي قيمة b

في الأسية x في الأس → أي عدد أس صفر = 1. في اللوغاريتمية x هي النتيجة → عندما النتيجة = 1، الأس = 0.

٤ تأثير قيمة الأساس ▼

b > 1

\log_2(x)

دالة متزايدة

0 < b < 1

\log_{0.5}(x)

دالة متناقصة

قيود الأساس

b ≠ 1 و b > 0

دائماً

سلوك اللوغاريتمية يعكس سلوك الأسية — b>1 ينتج دالة متزايدة لكن ببطء شديد.

٥ سبب البطء في نمو اللوغاريتمية ▼

تركيزنا على الأس وليس على النتيجة — النتيجة تنمو بسرعة هائلة لكن الأس ينمو ببطء.

2^1 = 2

\log_2(2) = 1

2^2 = 4

\log_2(4) = 2

2^3 = 8

\log_2(8) = 3

2^{10} = 1024

\log_2(1024) = 10

النتيجة تضاعفت من 2 إلى 1024 — لكن الأس نما من 1 إلى 10 فقط!

٦ الخلاصة

الخاصية	الأسية b^x	اللوغاريتمية log_b(x)
المجال	ℝ كله	x > 0 فقط
المدى	y > 0	ℝ كله
نقطة مميزة	(0, 1)	(1, 0)
النمو (b>1)	سريع جداً	بطيء جداً
التناظر	كل منهما معكوس الآخر — حول الخط y = x