خصائص الأعداد الحقيقية

التبديل

ترتيب العناصر لا يؤثر

التجميع

طريقة التجميع لا تؤثر

التوزيع

توزيع الضرب على الجمع

المحايد والنظير

الصفر والواحد والنظير

١ خاصية التبديل — Commutative Property

في الجمع — ترتيب الأعداد لا يغيّر النتيجة:

a + b = b + a

مثال 5 + 2 = 2 + 5 = 7

في الضرب — ترتيب الأعداد لا يغيّر الناتج:

a \times b = b \times a

مثال 5 × 2 = 2 × 5 = 10

٢ خاصية التجميع — Associative Property

في الجمع — طريقة التجميع لا تؤثر في النتيجة:

a + (b + c) = (a + b) + c

5 + (2+7) = 5 + 9 = 14

(5+2) + 7 = 7 + 7 = 14

في الضرب — طريقة التجميع لا تؤثر في الناتج:

a \times (b \times c) = (a \times b) \times c

5 × (2×7) = 5 × 14 = 70

(5×2) × 7 = 10 × 7 = 70

٣ العنصر المحايد — Identity Element

محايد الجمع هو الصفر — إضافته لا تغيّر العدد:

a + 0 = 0 + a = a

محايد الضرب هو الواحد — الضرب فيه لا يغيّر العدد:

a \times 1 = 1 \times a = a

٤ خاصية النظير — Inverse Property

النظير الجمعي لأي عدد هو معاكسه — مجموعهما يساوي الصفر:

a + (-a) = (-a) + a = 0

مثال 2 + (−2) = 0

النظير الضربي لأي عدد هو مقلوبه — حاصل ضربهما يساوي الواحد:

a \times \frac{1}{a} = 1

a ≠ 0

— يُشترط أن يكون العدد غير صفري، لأن مقلوب الصفر غير معرّف.

٥ خاصية الانغلاق — Closure Property

جمع أي عددين حقيقيين ينتج دائماً عدداً حقيقياً:

a + b \in \mathbb{R}

ضرب أي عددين حقيقيين ينتج دائماً عدداً حقيقياً:

a \times b \in \mathbb{R}

٦ خاصية التوزيع — Distributive Property

الضرب يتوزع على الجمع من اليسار ومن اليمين:

a(b + c) = ab + ac

(b + c)a = ba + ca

3 × (4+5) = 3×4 + 3×5 = 12 + 15 = 27

∑ ملخص الخصائص