الأعداد الحقيقية (Real Numbers)

مجموعة الأعداد الحقيقية

١ التسلسل الهرمي لمجموعات الأعداد

كل مجموعة تحتوي على المجموعات الأصغر منها — الأعداد الحقيقية تشمل الجميع.

الأعداد الحقيقية ℝ — تشمل كل ما يلي

الأعداد غير النسبية مثل π، √2، e

الأعداد النسبية ℚ — كسور وأعداد صحيحة

الأعداد الصحيحة ℤ — موجبة وسالبة وصفر

الأعداد الكلية 𝕎 — طبيعية + صفر

الأعداد الطبيعية ℕ = {1, 2, 3, …}

٢ تعريف كل مجموعة

الطبيعية ℕ

\{1,2,3,4,\ldots\}

الكلية 𝕎

\{0,1,2,3,\ldots\}

الصحيحة ℤ

\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}

النسبية ℚ

\left\{\frac{a}{b} : a,b\in\mathbb{Z},\, b\neq 0\right\}

غير النسبية لا تنتهي ولا تتكرر عشريًا

أمثلة نسبية

\tfrac{1}{2},\; 0.75,\; -3,\; 0

أمثلة غير نسبية

\pi,\; e,\; \sqrt{2},\; \phi

٣ خط الأعداد التفاعلي

اختر مجموعة من الأزرار أعلاه

مستوى التكبير3

٤ مثال ١ — تصنيف الأعداد ▼

صنّف الأعداد التالية إلى مجموعاتها:

5,\quad -3,\quad \tfrac{2}{7},\quad 0,\quad \sqrt{3},\quad \pi,\quad -\tfrac{1}{4},\quad 0.25,\quad \sqrt{16}

المجموعة	الأعداد المنتمية
الطبيعية ℕ	$5$
الكلية 𝕎	$5,\; 0$
الصحيحة ℤ	$5,\; -3,\; 0,\; 4$
النسبية ℚ	$5,\; -3,\; \tfrac{2}{7},\; 0,\; -\tfrac{1}{4},\; 0.25,\; 4$
غير النسبية	$\sqrt{3},\; \pi$

ملاحظة: √16 = 4 (عدد صحيح)، و 0.25 = ¼ (عدد نسبي)

٥ مثال ٢ — برهان بالتناقض أن √2 غير نسبي ▼

الفرضية

نفترض أن √2 نسبي، أي:

\sqrt{2} = \frac{p}{q}, \quad p,q \in \mathbb{Z},\; \gcd(p,q)=1

تربيع الطرفين

2 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2

إذن p مربّع زوجي ← p زوجي، اكتب p = 2k

الاستنتاج

2q^2 = (2k)^2 = 4k^2

q^2 = 2k^2

إذن q مربّع زوجي ← q زوجي أيضًا

تناقض! كلا العددين زوجيان ← القاسم المشترك الأكبر ≥ 2 ← يناقض الفرض. إذن √2 غير نسبي ✓

٦ مثال ٣ — العمليات على الأعداد الحقيقية ▼

نسبي + نسبي → نسبي

\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{2}

غير نسبي + غير نسبي → غير نسبي

\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}

غير نسبي + نظيره → نسبي!

\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0

نسبي × غير نسبي → غير نسبي

3\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}

صفر × غير نسبي → نسبي!

0\times\sqrt{2}=0

الناتج يعتمد على الأعداد المحددة وليس فقط على نوعها.

مجموعة الأعداد الحقيقية

في هذا الدرس سنتعرف على **مجموعة الأعداد الحقيقية**، وهي من أهم المجموعات في الرياضيات، لأنها تشمل جميع الأعداد الموجودة على خط الأعداد. كما سنتعرف على المجموعات التي تتفرع منها، ونوضح الفرق بين الأعداد الطبيعية والكلية والصحيحة والنسبية وغير النسبية.

ما هي الأعداد الحقيقية؟

تنقسم الأعداد بشكل عام إلى مجموعتين رئيسيتين:

- الأعداد الحقيقية. - الأعداد التخيلية.

وفي هذا الدرس نركز على الأعداد الحقيقية، أما الأعداد التخيلية فسيتم دراستها لاحقًا.

يمكن تمثيل جميع الأعداد الحقيقية على **خط الأعداد** الممتد من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية، وكل نقطة على هذا الخط تمثل عددًا حقيقيًا.

مجموعات الأعداد الحقيقية

تتكون مجموعة الأعداد الحقيقية من عدة مجموعات أصغر، وكل مجموعة تحتوي على المجموعة التي تسبقها، لذلك يمكن اعتبارها مجموعات متداخلة.

الأعداد الطبيعية

تعد **الأعداد الطبيعية** أصغر المجموعات، وهي الأعداد المستخدمة في العد، وتشمل:

1، 2، 3، 4، 5، ...

وتستمر إلى ما لا نهاية.

ولا تشمل الأعداد الطبيعية الكسور أو الأعداد العشرية، كما أنها **لا تشمل الصفر**.

الأعداد الكلية

إذا أضفنا الصفر إلى مجموعة الأعداد الطبيعية نحصل على **الأعداد الكلية**.

وتشمل:

0، 1، 2، 3، 4، ...

أي أنها تضم جميع الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الصفر.

الأعداد الصحيحة

إذا أضفنا الأعداد السالبة إلى الأعداد الكلية نحصل على **الأعداد الصحيحة**.

وتشمل:

...، -4، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، 4، ...

ولا تزال هذه المجموعة لا تحتوي على الكسور أو الأعداد العشرية.

مراجعة للمجموعات السابقة

حتى الآن تعرفنا على ثلاث مجموعات مرتبة كالتالي:

- الأعداد الطبيعية. - الأعداد الكلية، وتشمل الأعداد الطبيعية والصفر. - الأعداد الصحيحة، وتشمل الأعداد الكلية بالإضافة إلى الأعداد السالبة.

وكل مجموعة تحتوي على المجموعة التي قبلها.

الأعداد النسبية

بعد ذلك نصل إلى **الأعداد النسبية**.

وهي جميع الأعداد التي يمكن كتابتها على صورة:

عدد ÷ عدد

أو على صورة كسر.

ومن أمثلتها:

- 1/2 - 1/3 - 3/4 - 5/8

كما أن جميع الأعداد الصحيحة تعتبر أعدادًا نسبية، لأنها يمكن كتابتها على صورة كسر.

فعلى سبيل المثال:

- 1 = 2 ÷ 2 - 4 = 8 ÷ 2 - -4 = -8 ÷ 2

لذلك فإن مجموعة الأعداد النسبية تشمل:

- الأعداد الطبيعية. - الأعداد الكلية. - الأعداد الصحيحة. - جميع الكسور.

هل الأعداد النسبية تغطي خط الأعداد بالكامل؟

قد يبدو أن الأعداد النسبية تشمل جميع الأعداد الموجودة على خط الأعداد، لكن في الحقيقة لا يزال هناك مجموعة أخرى أكبر، وهي **الأعداد غير النسبية**.

الأعداد غير النسبية

الأعداد غير النسبية هي الأعداد التي **لا يمكن كتابتها على صورة كسر**، كما أن تمثيلها العشري لا ينتهي ولا يتكرر بنمط ثابت.

وتوجد هذه الأعداد بين الأعداد النسبية على خط الأعداد.

ومن أشهر الأمثلة عليها:

- π (باي). - √2 (الجذر التربيعي للعدد 2). - e (عدد أويلر).

فعلى سبيل المثال، العدد π يبدأ بالقيمة:

3.14159...

ويستمر بعد الفاصلة بعدد لا نهائي من الأرقام دون نمط متكرر، لذلك يعد عددًا غير نسبي.

وكذلك العدد √2 لا يمكن كتابته على صورة كسر، ولذلك يصنف أيضًا ضمن الأعداد غير النسبية.

العلاقة بين الأعداد النسبية وغير النسبية

الأعداد غير النسبية تملأ الفراغات الموجودة بين الأعداد النسبية على خط الأعداد، ولذلك فإنها منتشرة في جميع أجزاء خط الأعداد.

وعند جمع الأعداد النسبية مع الأعداد غير النسبية نحصل على **مجموعة الأعداد الحقيقية** كاملة.

ملخص الدرس

- الأعداد الحقيقية تشمل جميع الأعداد الموجودة على خط الأعداد. - تنقسم الأعداد الحقيقية إلى أعداد نسبية وأعداد غير نسبية. - الأعداد الطبيعية هي أعداد العد ولا تشمل الصفر. - الأعداد الكلية هي الأعداد الطبيعية مع الصفر. - الأعداد الصحيحة تشمل الأعداد الكلية والأعداد السالبة. - الأعداد النسبية هي الأعداد التي يمكن كتابتها على صورة كسر. - الأعداد غير النسبية لا يمكن كتابتها على صورة كسر، ومن أشهرها π و√2 وe. - اتحاد الأعداد النسبية وغير النسبية يشكل مجموعة الأعداد الحقيقية.

ثالث ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

مجموعة الأعداد الحقيقية في هذا الدرس سنتعرف على **مجموعة الأعداد الحقيقية**، وهي من أهم المجموعات في الرياضيات، لأنها تشمل جميع الأعداد الموجودة على خط… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

الأعداد الحقيقية

الثانوية

خصائص الأعداد الحقيقية

الثانوية

الأعداد المركبة

الثانوية

تمثيل الأعداد المركبة في الإحداثيات الديكارتية والقطبية

الثانوية

الأعداد المركبة وخط الأعداد

الثانوية

شرح الأعداد الحقيقية (Real Numbers) – ثاني ثانوي | أكاديمية موسى