المستقيمات المتعامدة ومعادلات المستقيم

الرياضيات — الهندسة التحليلية

الهدف: فهم شرط تعامد المستقيمين وكتابة معادلة المستقيم بصيغتين مختلفتين.

التعامد

حاصل ضرب الميلين يساوي −1

الصيغة الأولى

ميل ونقطة تقاطع مع y

الصيغة الثانية

ميل ونقطة على المستقيم

المستقيمات المتعامدة وعلاقة الميل

— إذا كان مستقيمان متعامدَين، فحاصل ضرب ميلَيهما يساوي −1.

— العكس صحيح: إذا كان حاصل الضرب −1 فالمستقيمان متعامدان.

m_1 \times m_2 = -1

ملاحظة

— يمكن كتابة العلاقة بشكل آخر: ميل أحد المستقيمين هو السالب لمعكوس ميل الآخر.

m_2 = \frac{-1}{m_1}

مثال ١ — التحقق من التعامد

— مستقيم أول ميله 4، ومستقيم ثانٍ ميله −¼.

— هل هما متعامدان؟

— نحسب حاصل الضرب:

m_1 \times m_2 = 4 \times \left(\frac{-1}{4}\right) = -1

المستقيمان متعامدان

مثال ٢ — حساب الميل من نقاط والتحقق

— المستقيم الأول يمر بالنقطتين D(6, 1) و C(3, 2).

— المستقيم الثاني يمر بالنقطتين B(−1, −5) و A(1, 1).

— نحسب ميل المستقيم الأول:

m_1 = \frac{1 - 2}{6 - 3} = \frac{-1}{3}

— نحسب ميل المستقيم الثاني:

m_2 = \frac{1 - (-5)}{1 - (-1)} = \frac{6}{2} = 3

— نتحقق من التعامد:

m_1 \times m_2 = \frac{-1}{3} \times 3 = -1

المستقيمان متعامدان

استكشاف التعامد

م١ 1

صيغتا معادلة المستقيم

— الصيغة الأولى: نعرف الميل ونقطة التقاطع مع محور y.

y = mx + b

— الصيغة الثانية: نعرف الميل ونقطة على المستقيم.

y - y_1 = m(x - x_1)

ملاحظة

— الصيغتان متكافئتان، ونختار منهما حسب المعطيات المتاحة في المسألة.

مثال ١ — الصيغة الأولى

— مستقيم ميله 3 ويتقاطع مع محور y عند −2.

— نعوض مباشرةً في الصيغة:

y = 3x + (-2)

y = 3x − 2

مثال ٢ — الصيغة الثانية

— مستقيم ميله −¾ ويمر بالنقطة (−2، 5).

— نعوض في الصيغة الثانية:

y - 5 = \frac{-3}{4}(x - (-2))

y - 5 = \frac{-3}{4}(x + 2)

y − 5 = −¾(x + 2)

مثال ٣ — إيجاد المعادلة من نقطتين

— النقطة الأولى (0، 3) والنقطة الثانية (−2، −1).

— الخطوة الأولى: نحسب الميل:

m = \frac{3 - (-1)}{0 - (-2)} = \frac{4}{2} = 2

— الخطوة الثانية: نكتب المعادلة باستخدام النقطة (0، 3):

y - 3 = 2(x - 0)

— نتحقق بالنقطة الثانية (−2، −1):

-1 = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 \checkmark

y = 2x + 3

استكشاف معادلة المستقيم

الميل 1

b 0

ملخص

المفهوم	القاعدة
التعامد	m₁ × m₂ = −1
الميل العمودي	m₂ = −1 ÷ m₁
الصيغة الأولى	y = mx + b
الصيغة الثانية	y − y₁ = m(x − x₁)
من نقطتين	احسب m أولاً، ثم استخدم إحدى الصيغتين

الخلاصة

— التعامد: شرطه أن يكون حاصل ضرب الميلين مساوياً −1.

— الصيغة الأولى: تُستخدم عند معرفة الميل ونقطة التقاطع مع محور y.

— الصيغة الثانية: تُستخدم عند معرفة الميل وأي نقطة على المستقيم.

— من نقطتين: نحسب الميل أولاً، ثم نختار الصيغة الملائمة.

— التحقق: نعوض أي نقطة معلومة في المعادلة للتأكد من صحتها.

الميل و تعامد المستقيمات

المستقيمات المتعامدة ومعادلات المستقيم

المستقيمات المتعامدة وعلاقة الميل

مثال ١ — التحقق من التعامد

مثال ٢ — حساب الميل من نقاط والتحقق

استكشاف التعامد

صيغتا معادلة المستقيم

مثال ١ — الصيغة الأولى

مثال ٢ — الصيغة الثانية

مثال ٣ — إيجاد المعادلة من نقطتين

استكشاف معادلة المستقيم

ملخص

الخلاصة

اختبار: المستقيمات المتعامدة ومعادلات المستقيم

في هذا الدرس سنكمل الحديث عن ميل المستقيمات، ونتعرف على العلاقة بين ميل مستقيمين متعامدين.

تعلمنا في الدرس السابق أن المستقيمين يكونان متوازيين إذا كان لهما الميل نفسه.

أما إذا كان المستقيمان متعامدين، فهناك علاقة ثابتة بين ميليهما، وهي أن حاصل ضرب الميلين يساوي سالب واحد.

فإذا كان ميل المستقيم الأول مضروبًا في ميل المستقيم الثاني يساوي -1، فإن المستقيمين متعامدان.

على سبيل المثال، إذا كان ميل أحد المستقيمات يساوي 4، فإن ميل المستقيم المتعامد معه يكون -1/4، لأن حاصل ضرب 4 × (-1/4) يساوي -1.

لحل مسائل التحقق من التعامد، نحسب أولًا ميل كل مستقيم باستخدام قانون الميل، وذلك بقسمة فرق الإحداثيين الصاديين (ΔY) على فرق الإحداثيين السينيين (ΔX).

في المثال الأول، باستخدام النقطتين C(3,2) وD(6,1)، يكون الميل: (1 - 2) ÷ (6 - 3) = -1/3.

وفي المستقيم الثاني، باستخدام النقطتين B(-1,-5) وA(1,1)، يكون الميل: (1 - (-5)) ÷ (1 - (-1)) = 6 ÷ 2 = 3.

بعد حساب الميلين، نضربهما معًا: 3 × (-1/3) = -1.

وبما أن حاصل الضرب يساوي -1، فإننا نستنتج أن المستقيمين متعامدان.

عن هذا الدرس

دروس ذات صلة

الميل و تعامد المستقيمات

المستقيمات المتعامدة ومعادلات المستقيم

المستقيمات المتعامدة وعلاقة الميل

مثال ١ — التحقق من التعامد

مثال ٢ — حساب الميل من نقاط والتحقق

استكشاف التعامد

صيغتا معادلة المستقيم

مثال ١ — الصيغة الأولى

مثال ٢ — الصيغة الثانية

مثال ٣ — إيجاد المعادلة من نقطتين

استكشاف معادلة المستقيم

ملخص

الخلاصة

اختبار: المستقيمات المتعامدة ومعادلات المستقيم

في هذا الدرس سنكمل الحديث عن ميل المستقيمات، ونتعرف على العلاقة بين ميل مستقيمين متعامدين.

تعلمنا في الدرس السابق أن المستقيمين يكونان متوازيين إذا كان لهما الميل نفسه.

أما إذا كان المستقيمان متعامدين، فهناك علاقة ثابتة بين ميليهما، وهي أن حاصل ضرب الميلين يساوي **سالب واحد**.

فإذا كان ميل المستقيم الأول مضروبًا في ميل المستقيم الثاني يساوي **-1**، فإن المستقيمين متعامدان.

على سبيل المثال، إذا كان ميل أحد المستقيمات يساوي **4**، فإن ميل المستقيم المتعامد معه يكون **-1/4**، لأن حاصل ضرب **4 × (-1/4)** يساوي **-1**.

لحل مسائل التحقق من التعامد، نحسب أولًا ميل كل مستقيم باستخدام قانون الميل، وذلك بقسمة فرق الإحداثيين الصاديين (ΔY) على فرق الإحداثيين السينيين (ΔX).

في المثال الأول، باستخدام النقطتين **C(3,2)** و**D(6,1)**، يكون الميل: **(1 - 2) ÷ (6 - 3) = -1/3**.

وفي المستقيم الثاني، باستخدام النقطتين **B(-1,-5)** و**A(1,1)**، يكون الميل: **(1 - (-5)) ÷ (1 - (-1)) = 6 ÷ 2 = 3**.

بعد حساب الميلين، نضربهما معًا: **3 × (-1/3) = -1**.

وبما أن حاصل الضرب يساوي **-1**، فإننا نستنتج أن المستقيمين متعامدان.

عن هذا الدرس

دروس ذات صلة

أما إذا كان المستقيمان متعامدين، فهناك علاقة ثابتة بين ميليهما، وهي أن حاصل ضرب الميلين يساوي سالب واحد.

فإذا كان ميل المستقيم الأول مضروبًا في ميل المستقيم الثاني يساوي -1، فإن المستقيمين متعامدان.

على سبيل المثال، إذا كان ميل أحد المستقيمات يساوي 4، فإن ميل المستقيم المتعامد معه يكون -1/4، لأن حاصل ضرب 4 × (-1/4) يساوي -1.

في المثال الأول، باستخدام النقطتين C(3,2) وD(6,1)، يكون الميل: (1 - 2) ÷ (6 - 3) = -1/3.

وفي المستقيم الثاني، باستخدام النقطتين B(-1,-5) وA(1,1)، يكون الميل: (1 - (-5)) ÷ (1 - (-1)) = 6 ÷ 2 = 3.

بعد حساب الميلين، نضربهما معًا: 3 × (-1/3) = -1.

وبما أن حاصل الضرب يساوي -1، فإننا نستنتج أن المستقيمين متعامدان.