الميل و تعامد المستقيمات
المستقيمات المتعامدة ومعادلات المستقيم
الرياضيات — الهندسة التحليلية
الهدف: فهم شرط تعامد المستقيمين وكتابة معادلة المستقيم بصيغتين مختلفتين.
المستقيمات المتعامدة وعلاقة الميل
— إذا كان مستقيمان متعامدَين، فحاصل ضرب ميلَيهما يساوي −1.
— العكس صحيح: إذا كان حاصل الضرب −1 فالمستقيمان متعامدان.
ملاحظة
— يمكن كتابة العلاقة بشكل آخر: ميل أحد المستقيمين هو السالب لمعكوس ميل الآخر.
مثال ١ — التحقق من التعامد
— مستقيم أول ميله 4، ومستقيم ثانٍ ميله −¼.
— هل هما متعامدان؟
— نحسب حاصل الضرب:
المستقيمان متعامدان
مثال ٢ — حساب الميل من نقاط والتحقق
— المستقيم الأول يمر بالنقطتين D(6, 1) و C(3, 2).
— المستقيم الثاني يمر بالنقطتين B(−1, −5) و A(1, 1).
— نحسب ميل المستقيم الأول:
— نحسب ميل المستقيم الثاني:
— نتحقق من التعامد:
المستقيمان متعامدان
استكشاف التعامد
صيغتا معادلة المستقيم
— الصيغة الأولى: نعرف الميل ونقطة التقاطع مع محور y.
— الصيغة الثانية: نعرف الميل ونقطة على المستقيم.
ملاحظة
— الصيغتان متكافئتان، ونختار منهما حسب المعطيات المتاحة في المسألة.
مثال ١ — الصيغة الأولى
— مستقيم ميله 3 ويتقاطع مع محور y عند −2.
— نعوض مباشرةً في الصيغة:
y = 3x − 2
مثال ٢ — الصيغة الثانية
— مستقيم ميله −¾ ويمر بالنقطة (−2، 5).
— نعوض في الصيغة الثانية:
y − 5 = −¾(x + 2)
مثال ٣ — إيجاد المعادلة من نقطتين
— النقطة الأولى (0، 3) والنقطة الثانية (−2، −1).
— الخطوة الأولى: نحسب الميل:
— الخطوة الثانية: نكتب المعادلة باستخدام النقطة (0، 3):
— نتحقق بالنقطة الثانية (−2، −1):
y = 2x + 3
استكشاف معادلة المستقيم
ملخص
الخلاصة
— التعامد: شرطه أن يكون حاصل ضرب الميلين مساوياً −1.
— الصيغة الأولى: تُستخدم عند معرفة الميل ونقطة التقاطع مع محور y.
— الصيغة الثانية: تُستخدم عند معرفة الميل وأي نقطة على المستقيم.
— من نقطتين: نحسب الميل أولاً، ثم نختار الصيغة الملائمة.
— التحقق: نعوض أي نقطة معلومة في المعادلة للتأكد من صحتها.
اختبار: المستقيمات المتعامدة ومعادلات المستقيم
1 / 10في هذا الدرس سنكمل الحديث عن ميل المستقيمات، ونتعرف على العلاقة بين ميل مستقيمين متعامدين.
تعلمنا في الدرس السابق أن المستقيمين يكونان متوازيين إذا كان لهما الميل نفسه.
أما إذا كان المستقيمان متعامدين، فهناك علاقة ثابتة بين ميليهما، وهي أن حاصل ضرب الميلين يساوي **سالب واحد**.
فإذا كان ميل المستقيم الأول مضروبًا في ميل المستقيم الثاني يساوي **-1**، فإن المستقيمين متعامدان.
على سبيل المثال، إذا كان ميل أحد المستقيمات يساوي **4**، فإن ميل المستقيم المتعامد معه يكون **-1/4**، لأن حاصل ضرب **4 × (-1/4)** يساوي **-1**.
لحل مسائل التحقق من التعامد، نحسب أولًا ميل كل مستقيم باستخدام قانون الميل، وذلك بقسمة فرق الإحداثيين الصاديين (ΔY) على فرق الإحداثيين السينيين (ΔX).
في المثال الأول، باستخدام النقطتين **C(3,2)** و**D(6,1)**، يكون الميل: **(1 - 2) ÷ (6 - 3) = -1/3**.
وفي المستقيم الثاني، باستخدام النقطتين **B(-1,-5)** و**A(1,1)**، يكون الميل: **(1 - (-5)) ÷ (1 - (-1)) = 6 ÷ 2 = 3**.
بعد حساب الميلين، نضربهما معًا: **3 × (-1/3) = -1**.
وبما أن حاصل الضرب يساوي **-1**، فإننا نستنتج أن المستقيمين متعامدان.
عن هذا الدرس
شرط تعامد المستقيمين: حاصل ضرب ميليهما يساوي −1، أي m₂ = −1 ÷ m₁ (السالب المقلوب)، بينما المتوازيان ميلاهما متساويان، مع التحقق من التعامد وإيجاد ميل… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.