جداول الصواب
الرياضيات — المنطق الرياضي
الهدف: فهم النفي والوصل والفصل وجداول صوابها.
نفي العبارة ¬P
— نفي العبارة يعكسها: إذا كانت صحيحة فنفيها خطأ، والعكس.
| P | ¬P |
|---|---|
| صواب T | خطأ F |
| خطأ F | صواب T |
— مثال: P = "المثلث قائم الزاوية". ¬P = "المثلث ليس قائم الزاوية".
عبارة الوصل P ∧ Q
— تكون النتيجة صحيحة فقط عندما تكون كلتا العبارتَين صحيحتَين.
| P | Q | P ∧ Q |
|---|---|---|
| T | T | T ✓ |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
— مثال: سيارة مرسيدس و لونها أحمر. تُعطي T فقط إذا تحقق الشرطان معاً.
عبارة الفصل P ∨ Q
— تكون النتيجة صحيحة إذا كانت إحدى العبارتَين على الأقل صحيحة.
— تكون خاطئة فقط إذا كانتا كلتاهما خاطئتَين.
| P | Q | P ∨ Q |
|---|---|---|
| T | T | T ✓ |
| T | F | T ✓ |
| F | T | T ✓ |
| F | F | F |
— مثال: سيارة مرسيدس أو لونها أحمر. تُعطي T إذا تحقق أحد الشرطين أو كلاهما.
الفرق بين الوصل والفصل — مخطط فن
ملخص
الخلاصة
— ¬P: يقلب قيمة الصواب — صواب يصبح خطأ والعكس.
— P ∧ Q: يحتاج كلا الشرطَين صحيحَين — صف واحد فقط يُعطي T.
— P ∨ Q: يكفي شرط واحد — ثلاثة صفوف تُعطي T وصف واحد فقط يُعطي F.
— مخطط فن: AND = التقاطع فقط، OR = مجموع الدائرتَين.
جداول الصواب
في هذا الدرس سنتعرف على **جداول الصواب (Truth Tables)**، وهي من أهم الأدوات في المنطق الرياضي، وتستخدم لمعرفة قيمة العبارات المنطقية البسيطة والمركبة.
وسنتناول ثلاثة أنواع من جداول الصواب:
- جدول نفي العبارة. - جدول عبارة الوصل (AND). - جدول عبارة الفصل (OR).
أولاً: جدول نفي العبارة
يعرض جدول نفي العبارة قيمة العبارة الأصلية وقيمة نفيها.
القاعدة بسيطة:
| العبارة (P) | نفي العبارة (¬P) | |-------------|------------------| | True (T) | False (F) | | False (F) | True (T) |
أي أن:
- إذا كانت العبارة صحيحة، فإن نفيها يكون خاطئًا. - وإذا كانت العبارة خاطئة، فإن نفيها يكون صحيحًا.
مثال على نفي العبارة
إذا كانت العبارة:
"المثلث قائم الزاوية."
وكانت صحيحة، فإن نفيها:
"المثلث ليس قائم الزاوية."
ويكون خاطئًا.
أما إذا كانت العبارة:
"المثلث حاد الزوايا."
وكانت خاطئة، فإن نفيها:
"المثلث ليس حاد الزوايا."
ويكون صحيحًا.
ثانياً: جدول عبارة الوصل (AND)
في عبارة الوصل نربط عبارتين باستخدام **و (AND)**.
ويرمز لها بالرمز:
\[ P \land Q \]
ولا تكون العبارة المركبة صحيحة إلا إذا كانت **كلتا العبارتين صحيحتين**.
جدول الصواب:
| P | Q | P ∧ Q | |---|---|--------| | T | T | T | | T | F | F | | F | T | F | | F | F | F |
أي أن وجود عبارة واحدة خاطئة يكفي لجعل العبارة المركبة كلها خاطئة.
مثال على عبارة الوصل
لنفترض أن المطلوب:
"أريد سيارة **مرسيدس ولونها أحمر**."
لدينا عبارتان:
- السيارة من نوع مرسيدس. - لون السيارة أحمر.
تكون العبارة صحيحة فقط إذا تحقق الشرطان معًا.
أما إذا:
- كانت السيارة مرسيدس ولكن لونها ليس أحمر. - أو كان لونها أحمر ولكنها ليست مرسيدس. - أو لم يتحقق أي من الشرطين.
فإن العبارة المركبة تكون خاطئة.
ثالثاً: جدول عبارة الفصل (OR)
في عبارة الفصل نربط عبارتين باستخدام **أو (OR)**.
ويرمز لها بالرمز:
\[ P \lor Q \]
ويكفي أن تكون **إحدى العبارتين صحيحة** حتى تكون العبارة المركبة صحيحة.
جدول الصواب:
| P | Q | P ∨ Q | |---|---|--------| | T | T | T | | T | F | T | | F | T | T | | F | F | F |
الحالة الوحيدة التي تكون فيها العبارة المركبة خاطئة هي عندما تكون العبارتان معًا خاطئتين.
مثال على عبارة الفصل
إذا قلنا:
"أريد سيارة **مرسيدس أو لونها أحمر**."
فهناك أربع حالات:
- سيارة مرسيدس ولونها أحمر → العبارة صحيحة. - سيارة مرسيدس ولونها لون آخر → العبارة صحيحة. - سيارة من نوع آخر ولكن لونها أحمر → العبارة صحيحة. - سيارة ليست مرسيدس ولونها ليس أحمر → العبارة خاطئة.
ملخص الدرس
- يستخدم جدول الصواب لتحديد قيمة العبارات المنطقية. - نفي العبارة يعكس قيمة الصواب: - صحيحة تصبح خاطئة. - خاطئة تصبح صحيحة. - عبارة الوصل **(AND)** تكون صحيحة فقط إذا كانت جميع العبارات صحيحة. - عبارة الفصل **(OR)** تكون صحيحة إذا كانت إحدى العبارات على الأقل صحيحة. - تكون عبارة الفصل خاطئة فقط عندما تكون جميع العبارات خاطئة.
عن هذا الدرس
جداول الصواب في هذا الدرس سنتعرف على **جداول الصواب (Truth Tables)**، وهي من أهم الأدوات في المنطق الرياضي، وتستخدم لمعرفة قيمة العبارات المنطقية البسيطة… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.
