جداول الصواب
الرياضيات — المنطق الرياضي
الهدف: فهم النفي والوصل والفصل وجداول صوابها.
نفي العبارة ¬P
— نفي العبارة يعكسها: إذا كانت صحيحة فنفيها خطأ، والعكس.
| P | ¬P |
|---|---|
| صواب T | خطأ F |
| خطأ F | صواب T |
— مثال: P = "المثلث قائم الزاوية". ¬P = "المثلث ليس قائم الزاوية".
عبارة الوصل P ∧ Q
— تكون النتيجة صحيحة فقط عندما تكون كلتا العبارتَين صحيحتَين.
| P | Q | P ∧ Q |
|---|---|---|
| T | T | T ✓ |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
— مثال: سيارة مرسيدس و لونها أحمر. تُعطي T فقط إذا تحقق الشرطان معاً.
عبارة الفصل P ∨ Q
— تكون النتيجة صحيحة إذا كانت إحدى العبارتَين على الأقل صحيحة.
— تكون خاطئة فقط إذا كانتا كلتاهما خاطئتَين.
| P | Q | P ∨ Q |
|---|---|---|
| T | T | T ✓ |
| T | F | T ✓ |
| F | T | T ✓ |
| F | F | F |
— مثال: سيارة مرسيدس أو لونها أحمر. تُعطي T إذا تحقق أحد الشرطين أو كلاهما.
الفرق بين الوصل والفصل — مخطط فن
ملخص
الخلاصة
— ¬P: يقلب قيمة الصواب — صواب يصبح خطأ والعكس.
— P ∧ Q: يحتاج كلا الشرطَين صحيحَين — صف واحد فقط يُعطي T.
— P ∨ Q: يكفي شرط واحد — ثلاثة صفوف تُعطي T وصف واحد فقط يُعطي F.
— مخطط فن: AND = التقاطع فقط، OR = مجموع الدائرتَين.
جداول الصواب
في هذا الدرس سنتعرف على **جداول الصواب (Truth Tables)**، وهي من أهم الأدوات في المنطق الرياضي، وتستخدم لمعرفة قيمة العبارات المنطقية البسيطة والمركبة.
وسنتناول ثلاثة أنواع من جداول الصواب:
- جدول نفي العبارة. - جدول عبارة الوصل (AND). - جدول عبارة الفصل (OR).
أولاً: جدول نفي العبارة
يعرض جدول نفي العبارة قيمة العبارة الأصلية وقيمة نفيها.
القاعدة بسيطة:
| العبارة (P) | نفي العبارة (¬P) | |-------------|------------------| | True (T) | False (F) | | False (F) | True (T) |
أي أن:
- إذا كانت العبارة صحيحة، فإن نفيها يكون خاطئًا. - وإذا كانت العبارة خاطئة، فإن نفيها يكون صحيحًا.
مثال على نفي العبارة
إذا كانت العبارة:
"المثلث قائم الزاوية."
وكانت صحيحة، فإن نفيها:
"المثلث ليس قائم الزاوية."
ويكون خاطئًا.
أما إذا كانت العبارة:
"المثلث حاد الزوايا."
وكانت خاطئة، فإن نفيها:
"المثلث ليس حاد الزوايا."
ويكون صحيحًا.
ثانياً: جدول عبارة الوصل (AND)
في عبارة الوصل نربط عبارتين باستخدام **و (AND)**.
ويرمز لها بالرمز:
\[ P \land Q \]
ولا تكون العبارة المركبة صحيحة إلا إذا كانت **كلتا العبارتين صحيحتين**.
جدول الصواب:
| P | Q | P ∧ Q | |---|---|--------| | T | T | T | | T | F | F | | F | T | F | | F | F | F |
أي أن وجود عبارة واحدة خاطئة يكفي لجعل العبارة المركبة كلها خاطئة.
مثال على عبارة الوصل
لنفترض أن المطلوب:
"أريد سيارة **مرسيدس ولونها أحمر**."
لدينا عبارتان:
- السيارة من نوع مرسيدس. - لون السيارة أحمر.
تكون العبارة صحيحة فقط إذا تحقق الشرطان معًا.
أما إذا:
- كانت السيارة مرسيدس ولكن لونها ليس أحمر. - أو كان لونها أحمر ولكنها ليست مرسيدس. - أو لم يتحقق أي من الشرطين.
فإن العبارة المركبة تكون خاطئة.
ثالثاً: جدول عبارة الفصل (OR)
في عبارة الفصل نربط عبارتين باستخدام **أو (OR)**.
ويرمز لها بالرمز:
\[ P \lor Q \]
ويكفي أن تكون **إحدى العبارتين صحيحة** حتى تكون العبارة المركبة صحيحة.
جدول الصواب:
| P | Q | P ∨ Q | |---|---|--------| | T | T | T | | T | F | T | | F | T | T | | F | F | F |
الحالة الوحيدة التي تكون فيها العبارة المركبة خاطئة هي عندما تكون العبارتان معًا خاطئتين.
مثال على عبارة الفصل
إذا قلنا:
"أريد سيارة **مرسيدس أو لونها أحمر**."
فهناك أربع حالات:
- سيارة مرسيدس ولونها أحمر → العبارة صحيحة. - سيارة مرسيدس ولونها لون آخر → العبارة صحيحة. - سيارة من نوع آخر ولكن لونها أحمر → العبارة صحيحة. - سيارة ليست مرسيدس ولونها ليس أحمر → العبارة خاطئة.
ملخص الدرس
- يستخدم جدول الصواب لتحديد قيمة العبارات المنطقية. - نفي العبارة يعكس قيمة الصواب: - صحيحة تصبح خاطئة. - خاطئة تصبح صحيحة. - عبارة الوصل **(AND)** تكون صحيحة فقط إذا كانت جميع العبارات صحيحة. - عبارة الفصل **(OR)** تكون صحيحة إذا كانت إحدى العبارات على الأقل صحيحة. - تكون عبارة الفصل خاطئة فقط عندما تكون جميع العبارات خاطئة.
عن هذا الدرس
جداول الصواب في هذا الدرس سنتعرف على جداول الصواب (Truth Tables)، وهي من أهم الأدوات في المنطق الرياضي، وتستخدم لمعرفة قيمة العبارات المنطقية البسيطة… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.
