مسلمات قياس الزوايا
الرياضيات — الهندسة
الهدف: فهم مسلمة المنقلة ومسلمة جمع الزوايا وتطبيقهما في حل المسائل.
مسلمة المنقلة
— لكل زاوية يوجد عدد حقيقي موجب بين 0 و 180 يمثل قياسها بالدرجات.
— المنقلة تُطابق أضلاع الزاوية مع التدريج لقراءة قياسها مباشرةً.
ملاحظة
— نضع أحد أضلاع الزاوية عند 0°، والقراءة عند الضلع الثاني تعطينا قياس الزاوية.
مسلمة جمع قياسات الزوايا
— إذا وقعت النقطة D داخل الزاوية ABC، فإن:
ملاحظة
— إذا كان مجموع الزاويتين يساوي الزاوية الكلية فالنقطة داخلها، وإن زاد أو نقص فهي خارجها.
مثال ١ — إيجاد زاوية مجهولة
— إذا كان m∠ABC = 120° و m∠ABD = 75°، أوجد m∠DBC.
m∠DBC = 45°
مثال ٢ — هل D داخل الزاوية؟
— m∠ABC = 90°، m∠ABD = 50°، m∠DBC = 60°. هل D داخل الزاوية ABC؟
— نحسب المجموع:
— بما أن 110° ≠ 90°:
D لا تقع داخل الزاوية ABC
مثال ٣ — إيجاد الزاوية الكلية
— E داخل ∠PQR، m∠PQE = 35°، m∠EQR = 45°. أوجد m∠PQR.
m∠PQR = 80°
ملخص
الخلاصة
— مسلمة المنقلة: كل زاوية لها قياس حقيقي فريد بين 0° و 180°.
— مسلمة الجمع: إذا كانت D داخل ∠ABC فـ m∠ABD + m∠DBC = m∠ABC.
— التحقق من الداخل: إذا تساوى المجموع مع الزاوية الكلية فالنقطة داخلها.
— إيجاد المجهول: اطرح الزاوية المعلومة من الكلية للحصول على الجزء الآخر.
# علاقات الزوايا
في هذا الدرس سنتعرف على أولى العلاقات الأساسية الخاصة بالزوايا، وذلك من خلال **مسلمتين** مهمتين:
1. مسلمة المنقلة. 2. مسلمة جمع قياسات الزوايا.
---
# أولًا: مسلمة المنقلة (Protractor Postulate)
كما تعودنا، فإن المسلمات هي حقائق بديهية تُقبل دون برهان.
وتقوم مسلمة المنقلة على فكرة بسيطة:
- الخط المستقيم قياسه دائمًا **180°**. - وتقسم المنقلة هذه الـ180 درجة إلى تدريجات متساوية. - ولقياس أي زاوية نحتاج إلى ضلعين يشتركان في رأس واحد.
طريقة القياس:
1. نضع أحد ضلعي الزاوية عند علامة **0°** في المنقلة. 2. نقرأ التدريج الذي يصل إليه الضلع الآخر. 3. تكون هذه القراءة هي **قياس الزاوية**.
وبذلك تمكننا المنقلة من قياس أي زاوية بطريقة مباشرة.
---
# ثانيًا: مسلمة جمع قياسات الزوايا (Angle Addition Postulate)
تنص هذه المسلمة على أنه:
إذا كانت النقطة **D** تقع داخل الزاوية **∠ABC**، فإن:
**m∠ABD + m∠DBC = m∠ABC**
أي أن:
قياس الزاوية الأولى + قياس الزاوية الثانية = قياس الزاوية الكاملة.
---
لماذا اشترطنا أن تكون النقطة D داخل الزاوية؟
هذا الشرط مهم جدًا.
إذا كانت النقطة **D** داخل الزاوية، فإن الضلع **BD** يقسم الزاوية إلى زاويتين صغيرتين، ويكون مجموعهما مساويًا للزاوية الأصلية.
أما إذا كانت النقطة **D** خارج الزاوية، فإن الزاويتين الناتجتين لن تمثلا أجزاءً من الزاوية الأصلية، وبالتالي لن يكون مجموعهما مساويًا لها، بل سيكون أكبر منها.
ولهذا تشترط المسلمة أن تقع النقطة **D** داخل الزاوية.
---
# مثال
إذا كان:
**m∠ABC = 80°**
وكان:
**m∠ABD = 60°**
و
**m∠DBC = 20°**
فإن:
60° + 20° = 80°
إذن:
**m∠ABD + m∠DBC = m∠ABC**
وبالتالي نستنتج أن النقطة **D** تقع داخل الزاوية **ABC**.
---
# ملخص الدرس
مسلمة المنقلة
- الخط المستقيم قياسه **180°**. - تُستخدم المنقلة لقياس الزوايا. - نثبت أحد الضلعين عند الصفر، وتكون قراءة الضلع الآخر هي قياس الزاوية.
---
مسلمة جمع قياسات الزوايا
إذا كانت النقطة **D** داخل الزاوية **ABC** فإن:
**m∠ABD + m∠DBC = m∠ABC**
ولا تصح هذه العلاقة إذا كانت النقطة **D** خارج الزاوية.
---
هاتان المسلمتان تُعدان من الأسس المهمة في الهندسة، ويُبنى عليهما العديد من النظريات والبراهين المتعلقة بالزوايا.
عن هذا الدرس
# علاقات الزوايا في هذا الدرس سنتعرف على أولى العلاقات الأساسية الخاصة بالزوايا، وذلك من خلال **مسلمتين** مهمتين: 1. مسلمة المنقلة. 2. مسلمة جمع قياسات… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.
