مسلمات قياس الزوايا
الرياضيات — الهندسة
الهدف: فهم مسلمة المنقلة ومسلمة جمع الزوايا وتطبيقهما في حل المسائل.
مسلمة المنقلة
— لكل زاوية يوجد عدد حقيقي موجب بين 0 و 180 يمثل قياسها بالدرجات.
— المنقلة تُطابق أضلاع الزاوية مع التدريج لقراءة قياسها مباشرةً.
ملاحظة
— نضع أحد أضلاع الزاوية عند 0°، والقراءة عند الضلع الثاني تعطينا قياس الزاوية.
مسلمة جمع قياسات الزوايا
— إذا وقعت النقطة D داخل الزاوية ABC، فإن:
ملاحظة
— إذا كان مجموع الزاويتين يساوي الزاوية الكلية فالنقطة داخلها، وإن زاد أو نقص فهي خارجها.
مثال ١ — إيجاد زاوية مجهولة
— إذا كان m∠ABC = 120° و m∠ABD = 75°، أوجد m∠DBC.
m∠DBC = 45°
مثال ٢ — هل D داخل الزاوية؟
— m∠ABC = 90°، m∠ABD = 50°، m∠DBC = 60°. هل D داخل الزاوية ABC؟
— نحسب المجموع:
— بما أن 110° ≠ 90°:
D لا تقع داخل الزاوية ABC
مثال ٣ — إيجاد الزاوية الكلية
— E داخل ∠PQR، m∠PQE = 35°، m∠EQR = 45°. أوجد m∠PQR.
m∠PQR = 80°
ملخص
الخلاصة
— مسلمة المنقلة: كل زاوية لها قياس حقيقي فريد بين 0° و 180°.
— مسلمة الجمع: إذا كانت D داخل ∠ABC فـ m∠ABD + m∠DBC = m∠ABC.
— التحقق من الداخل: إذا تساوى المجموع مع الزاوية الكلية فالنقطة داخلها.
— إيجاد المجهول: اطرح الزاوية المعلومة من الكلية للحصول على الجزء الآخر.
# علاقات الزوايا
في هذا الدرس سنتعرف على أولى العلاقات الأساسية الخاصة بالزوايا، وذلك من خلال **مسلمتين** مهمتين:
1. مسلمة المنقلة. 2. مسلمة جمع قياسات الزوايا.
---
# أولًا: مسلمة المنقلة (Protractor Postulate)
كما تعودنا، فإن المسلمات هي حقائق بديهية تُقبل دون برهان.
وتقوم مسلمة المنقلة على فكرة بسيطة:
- الخط المستقيم قياسه دائمًا **180°**. - وتقسم المنقلة هذه الـ180 درجة إلى تدريجات متساوية. - ولقياس أي زاوية نحتاج إلى ضلعين يشتركان في رأس واحد.
طريقة القياس:
1. نضع أحد ضلعي الزاوية عند علامة **0°** في المنقلة. 2. نقرأ التدريج الذي يصل إليه الضلع الآخر. 3. تكون هذه القراءة هي **قياس الزاوية**.
وبذلك تمكننا المنقلة من قياس أي زاوية بطريقة مباشرة.
---
# ثانيًا: مسلمة جمع قياسات الزوايا (Angle Addition Postulate)
تنص هذه المسلمة على أنه:
إذا كانت النقطة **D** تقع داخل الزاوية **∠ABC**، فإن:
**m∠ABD + m∠DBC = m∠ABC**
أي أن:
قياس الزاوية الأولى + قياس الزاوية الثانية = قياس الزاوية الكاملة.
---
لماذا اشترطنا أن تكون النقطة D داخل الزاوية؟
هذا الشرط مهم جدًا.
إذا كانت النقطة **D** داخل الزاوية، فإن الضلع **BD** يقسم الزاوية إلى زاويتين صغيرتين، ويكون مجموعهما مساويًا للزاوية الأصلية.
أما إذا كانت النقطة **D** خارج الزاوية، فإن الزاويتين الناتجتين لن تمثلا أجزاءً من الزاوية الأصلية، وبالتالي لن يكون مجموعهما مساويًا لها، بل سيكون أكبر منها.
ولهذا تشترط المسلمة أن تقع النقطة **D** داخل الزاوية.
---
# مثال
إذا كان:
**m∠ABC = 80°**
وكان:
**m∠ABD = 60°**
و
**m∠DBC = 20°**
فإن:
60° + 20° = 80°
إذن:
**m∠ABD + m∠DBC = m∠ABC**
وبالتالي نستنتج أن النقطة **D** تقع داخل الزاوية **ABC**.
---
# ملخص الدرس
مسلمة المنقلة
- الخط المستقيم قياسه **180°**. - تُستخدم المنقلة لقياس الزوايا. - نثبت أحد الضلعين عند الصفر، وتكون قراءة الضلع الآخر هي قياس الزاوية.
---
مسلمة جمع قياسات الزوايا
إذا كانت النقطة **D** داخل الزاوية **ABC** فإن:
**m∠ABD + m∠DBC = m∠ABC**
ولا تصح هذه العلاقة إذا كانت النقطة **D** خارج الزاوية.
---
هاتان المسلمتان تُعدان من الأسس المهمة في الهندسة، ويُبنى عليهما العديد من النظريات والبراهين المتعلقة بالزوايا.
عن هذا الدرس
علاقات الزوايا في هذا الدرس سنتعرف على أولى العلاقات الأساسية الخاصة بالزوايا، وذلك من خلال مسلمتين مهمتين: 1. مسلمة المنقلة. 2. مسلمة جمع قياسات الزوايا.… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.
