تركيب التحويلات الهندسية

الهندسة التحويلية — الإزاحة والانعكاس والدوران

الهدف: فهم تركيب التحويلات الهندسية وما ينتج عن الانعكاسين المتتاليين.

إزاحة + انعكاس

تحويل مركب

انعكاسان متوازيان

يكافئ إزاحة = 2 × المسافة

انعكاسان متقاطعان

يكافئ دوران = 2 × الزاوية

إزاحة ثم انعكاس

— نطبّق أولاً إزاحة على الشكل ثم انعكاساً على الناتج.

— ترتيب التطبيق مهم — إزاحة ثم انعكاس تختلف عن انعكاس ثم إزاحة.

مثال

— مثلث في الربع الرابع: نرفعه 4 وحدات (إزاحة) ثم ننعكسه حول محور y (انعكاس) ← يصل إلى الربع الثاني.

انعكاسان حول مستقيمين متوازيين — تفاعلي

— انعكاسان متتاليان حول مستقيمين متوازيين يكافئان إزاحةً واحدة.

— مقدار الإزاحة = ضعف المسافة بين المستقيمين.

المسافة 2

\text{الإزاحة} = 2 \times d

d = المسافة بين المستقيمين المتوازيين

انعكاسان حول مستقيمين متقاطعين — تفاعلي

— انعكاسان متتاليان حول مستقيمين متقاطعين يكافئان دوراناً واحداً.

— مقدار الدوران = ضعف الزاوية بين المستقيمين، ومركزه نقطة التقاطع.

الزاوية 45°

\theta_{\text{دوران}} = 2\theta

θ = الزاوية بين المستقيمين المتقاطعين

أمثلة محلولة

مثال ١ — إزاحة ثم انعكاس

— النقطة A(2, 1): إزاحة بالشعاع (3, 2) ثم انعكاس حول محور x.

A(2,1) \xrightarrow{+(3,2)} A_1(5,3) \xrightarrow{\text{انعكاس}} A_2(5,-3)

النتيجة = (5, −3)

مثال ٢ — انعكاسان حول مستقيمين متوازيين

— المستقيمان x = 2 و x = 6، النقطة P(0, 3).

P(0,3) \xrightarrow{x=2} P_1(4,3) \xrightarrow{x=6} P_2(8,3)

— المسافة بين المستقيمين = |6−2| = 4، مقدار الإزاحة = 2×4 = 8 ✓

إزاحة 8 وحدات في اتجاه x الموجب

مثال ٣ — انعكاسان حول مستقيمين متقاطعين

— محور x والمستقيم y = x، النقطة Q(4, 0).

Q(4,0) \xrightarrow{x\text{-axis}} Q_1(4,0) \xrightarrow{y=x} Q_2(0,4)

— الزاوية بين المستقيمين = 45°، مقدار الدوران = 2×45° = 90° ✓

دوران 90° حول نقطة الأصل

جدول مقارن

نوع التركيب	النتيجة	القانون
انعكاسان متوازيان	إزاحة	2 × d
انعكاسان متقاطعان	دوران	2 × θ
إزاحة + انعكاس	تحويل مركب	يعتمد على الترتيب

الخلاصة

— تركيب التحويلات: تطبيق أكثر من تحويل هندسي بشكل متتالٍ.

— انعكاسان متوازيان: مكافئ لإزاحة بمقدار $2d$ .

— انعكاسان متقاطعان: مكافئ لدوران بمقدار $2\theta$ حول نقطة التقاطع.

— قاعدة ذهبية: الترتيب مهم جداً — التحويلات ليست تبديلية دائماً.

تركيب الإزاحة والإنعكاس

الشرح