ملخص الرياضيات أول ثانوي (الفصل الثالث) الجزء الأول
ملخص الفصل الثالث
الرياضيات — الصف الأول الثانوي
محتوى الفصل: المضلعات المتشابهة — نظريات التناسب — التحويلات الهندسية — الدائرة — معادلة الدائرة.
المضلعات والمثلثات المتشابهة
— مضلعان متشابهان إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة والنسبة بين أضلاعهما المتناظرة ثابتة.
— معامل التشابه k: القيمة الثابتة لنسبة الأضلاع المتناظرة.
حالات تشابه المثلثات
— ز ز (AA): تساوي زاويتين متناظرتين.
— ض ض ض (SSS): تناسب الأضلاع الثلاثة المتناظرة.
— ض ز ض (SAS): تناسب ضلعين مع تساوي الزاوية المحصورة بينهما.
— حرّك المتحكم لمشاهدة تأثير معامل التشابه:
ملاحظة
— نسبة محيطَي مثلثين متشابهين = k، ونسبة مساحتيهما = k².
نسبة الأضلاع = k — نسبة المحيطات = k — نسبة المساحات = k²
نظريات التناسب في المثلث
نظرية التناسب
— إذا كان مستقيم موازٍ لضلع من المثلث ويقطع الضلعين الآخرين، فإن:
نظرية القطعة المتوسطة
— القطعة الواصلة بين منتصفَي ضلعين في المثلث:
— موازية للضلع الثالث.
— طولها يساوي نصف طول الضلع الثالث:
ملاحظة
— عمود منصف أي وتر في الدائرة يمر بمركزها — هذا تطبيق لنظرية التناسب.
خط موازٍ لضلع في المثلث يُنشئ نسباً متساوية في الضلعين الآخرين
التحويلات الهندسية
الانعكاس
— حول محور x:
— حول محور y:
الإزاحة بمقدار (a، b)
الدوران حول نقطة الأصل
— دوران 90°:
— دوران 180°:
— اختر التحويل لمشاهدته:
ملاحظة
— انعكاسان حول مستقيمَين متوازيَين = إزاحة. انعكاسان حول مستقيمَين متقاطعَين = دوران.
جميع التحويلات تحفظ الأطوال والزوايا — الشكل يظل متطابقاً مع الأصل
الدائرة — الزوايا والمماسات
الزوايا في الدائرة
— الزاوية المركزية = قياس القوس المقابل.
— الزاوية المحيطية = نصف قياس القوس المقابل.
— زاوية محيطية مقابلة لقطر = 90°.
— شكل رباعي محاط بدائرة: كل زاويتين متقابلتين مجموعهما 180°.
المماسات والقواطع
— المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس.
— مماسان من نقطة خارجية: متساويان في الطول.
— تقاطع داخلي: الزاوية = نصف (قوس + قوس مقابل).
— تقاطع خارجي: الزاوية = نصف (القوس الأكبر − الأصغر).
نظريات الأطوال
— وتران يتقاطعان داخل الدائرة:
— قاطعان من نقطة خارجية:
— مماس وقاطع من نقطة خارجية:
زاوية محيطية = ½ × قوس — تقاطع داخلي: جداء الجزأين متساويان
معادلة الدائرة
— مركزها نقطة الأصل:
— مركزها النقطة (a، b):
— حرّك المتحكمات لرسم الدائرة:
مثال ١
— مركز (2، −3) ونصف قطر 5:
مثال ٢ — إكمال المربع
— الدائرة:
— نكمل المربع:
— المركز (3، −2) ونصف القطر 5.
إشارات المركز تُعكس في المعادلة — الطرف الأيمن هو r² وليس r
جدول المراجعة السريعة
الخلاصة
— التشابه: معامل التشابه k يربط الأضلاع والمحيطات، وk² يربط المساحات.
— التناسب: الخط الموازي لضلع المثلث يُنشئ نسباً متساوية — والقطعة المتوسطة نصف الضلع الثالث.
— التحويلات: الانعكاس يعكس الإشارة، الإزاحة تضيف (a،b)، الدوران 90° يُبدّل الإحداثيين مع عكس الإشارة.
— الدائرة: الزاوية المحيطية = نصف المركزية — تقاطع داخلي: جداء الجزأين — تقاطع خارجي: نصف الفرق.
— معادلة الدائرة: إحداثيات المركز تُعكس إشاراتها في المعادلة، والطرف الأيمن هو نصف القطر مربعاً.
المضلعات المتشابهة
يكون مضلعان متشابهين إذا تحققت شرطان:
- الزوايا المتناظرة متساوية. - النسبة بين الأضلاع المتناظرة ثابتة.
فإذا كانت النسبة بين ضلعين متناظرين تساوي 1/2، فإن جميع الأضلاع المتناظرة الأخرى تكون بالنسبة نفسها.
ويترتب على ذلك أن النسبة بين محيطي المضلعين تساوي أيضًا نسبة الأضلاع المتناظرة.
تشابه المثلثات
المثلث حالة خاصة من المضلعات، ولذلك تنطبق عليه شروط التشابه السابقة.
كما توجد حالات خاصة لإثبات تشابه المثلثات، وهي:
- تساوي زاويتين متناظرتين. - تناسب الأضلاع الثلاثة المتناظرة. - تناسب ضلعين متناظرين مع تساوي الزاوية المحصورة بينهما.
نتائج تشابه المثلثات
إذا تشابه مثلثان، فإن:
- نسبة الارتفاعات المتناظرة تساوي نسبة الأضلاع المتناظرة. - نسبة منصفات الزوايا المتناظرة تساوي نسبة الأضلاع. - نسبة المتوسطات المتناظرة تساوي نسبة الأضلاع.
نظرية التناسب في المثلث
إذا كان في المثلث مستقيم موازٍ لأحد أضلاعه ويقطع الضلعين الآخرين، فإن النسبة بين الجزأين في أحد الضلعين تساوي النسبة بين الجزأين المناظرين في الضلع الآخر.
كما أن العكس صحيح، فإذا تساوت النسب بين الأجزاء المناظرة، فإن المستقيم يكون موازيًا للضلع الثالث.
نظرية القطعة المنصفة في المثلث
إذا وصلنا بين منتصفي ضلعين في مثلث، فإن القطعة الناتجة:
- توازي الضلع الثالث. - يساوي طولها نصف طول الضلع الثالث.
والعكس صحيح، فإذا كانت قطعة داخل المثلث توازي الضلع الثالث وطولها يساوي نصف طوله، فإنها تصل بين منتصفي الضلعين الآخرين.
الأجزاء المتناسبة بين مستقيمات متوازية
إذا قطع قاطعان ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر، فإن النسبة بين الأجزاء المناظرة على أحد القاطعين تساوي النسبة بين الأجزاء المناظرة على القاطع الآخر.
وتعد هذه النظرية امتدادًا لنظرية التناسب في المثلث.
الانعكاس
في الانعكاس حول مستقيم، تكون المسافة بين النقطة ومحور الانعكاس مساوية للمسافة بين صورتها والمحور، ويكون المستقيم الواصل بينهما عموديًا على محور الانعكاس.
إذا كانت النقطة على محور الانعكاس، فإنها تنعكس على نفسها.
ويمكن تطبيق الانعكاس على النقاط، والقطع المستقيمة، والمثلثات، وجميع الأشكال الهندسية.
### الانعكاس في المستوى الإحداثي
- حول المحور X: تتغير إشارة Y فقط. - حول المحور Y: تتغير إشارة X فقط. - حول المستقيم Y = X: يتم تبديل إحداثيي X وY.
الإزاحة
الإزاحة هي نقل الشكل بمقدار واتجاه محددين.
في المستوى الإحداثي تتم بإضافة مقدار الإزاحة إلى إحداثيي X وY لكل نقطة في الشكل.
الدوران
إذا كانت النقطة هي مركز الدوران، فإنها تبقى ثابتة.
أما إذا كانت بعيدة عن مركز الدوران، فإنها تدور حوله مع بقاء المسافة ثابتة بين النقطة ومركز الدوران.
### الدوران في المستوى الإحداثي
- دوران 90°: نغيّر إشارة Y ثم نبدّل X وY. - دوران 180°: نغيّر إشارة X وY. - دوران 270°: نغيّر إشارة X ثم نبدّل X وY.
وتعد الإزاحة والانعكاس والدوران من التحويلات الهندسية.
تركيب التحويلات الهندسية
قد يجتمع أكثر من تحويل هندسي في المسألة الواحدة.
إذا كان لدينا انعكاسان حول مستقيمين متوازيين، فإن الناتج يكون إزاحة، ومقدارها يساوي ضعف المسافة بين المستقيمين.
أما إذا كان الانعكاسان حول مستقيمين متقاطعين، فإن الناتج يكون دورانًا، ويكون قياس زاوية الدوران ضعف زاوية التقاطع بين المستقيمين.
كما يمكن الجمع بين الإزاحة والانعكاس في تحويل واحد.
التماثل حول محور
التماثل حول محور يعني أن يكون الشكل متطابقًا على جانبي محور التماثل.
التماثل الدوراني
التماثل الدوراني هو دوران الشكل حول نقطة بحيث يعود إلى شكله الأصلي.
في المربع:
- رتبة التماثل = 4. - مقدار التماثل = 90°.
أما في المستطيل:
- رتبة التماثل = 2. - مقدار التماثل = 180°.
عن هذا الدرس
المضلعات المتشابهة يكون مضلعان متشابهين إذا تحققت شرطان: - الزوايا المتناظرة متساوية. - النسبة بين الأضلاع المتناظرة ثابتة. فإذا كانت النسبة بين ضلعين… هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.