نظرية منصف الزاوية

الهندسة — نسب المثلث

الهدف: فهم نظرية منصف الزاوية وتطبيقها لإيجاد الأطوال المجهولة.

التعريف

يقسم الزاوية إلى قسمين متساويين

النظرية

AB/AC = BD/DC

التطبيق

إيجاد الأطوال المجهولة

التعريف والنظرية — تفاعلي

— منصف الزاوية: القطعة التي تقسم زاوية المثلث إلى جزأين متساويين، وتصل إلى الضلع المقابل.

— النظرية: إذا كان AD منصف الزاوية ∠BAC، فإن النسبة AB/AC تساوي BD/DC.

AB 60

AC 90

\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}

— حرّك السلايدرات لتغيير AB وAC. شاهد كيف يتغير موضع D على الضلع BC تبعاً لنسبة الضلعين.

مثال ١ — مفصل

المعطيات

— مثلث ABC: AB = 6، AC = 14، BC = 18.

— AD منصف الزاوية ∠BAC. المطلوب: BD.

\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \implies \frac{6}{14} = \frac{x}{18-x}

\frac{3}{7} = \frac{x}{18-x} \implies 3(18-x) = 7x

54 = 10x \implies x = 5.4

التحقق

— AB/AC = 6/14 = 3/7 ≈ 0.43

— BD/DC = 5.4/12.6 = 3/7 ≈ 0.43 ✓

BD = 5.4 | DC = 12.6

أمثلة إضافية

مثال ٢ — إيجاد النسبة

— مثلث XYZ: XY = 8، XZ = 12. منصف الزاوية X يقسم YZ إلى YW وWZ.

\frac{XY}{XZ} = \frac{YW}{WZ} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

YW : WZ = 2 : 3

مثال ٣ — إيجاد ضلع مجهول

— مثلث PQR: PQ = 9، QR = 15. منصف الزاوية P يقسم QR إلى QS = 6 وSR. المطلوب: PR.

— SR = QR − QS = 15 − 6 = 9

\frac{PQ}{PR} = \frac{QS}{SR} \implies \frac{9}{PR} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

PR = \frac{9 \times 3}{2} = 13.5

PR = 13.5

تمارين تطبيقية

تمرين ١

— مثلث، الضلعان المتجاوران للزاوية A هما 8 و 12، والضلع المقابل طوله 15. جد تقسيم منصف الزاوية للضلع المقابل.

تمرين ٢

— منصف زاوية يقسم الضلع المقابل بنسبة 3:4. إذا كان أحد الضلعين المتجاورين = 9، فما طول الآخر؟

خطوات الحل المنهجية

الخطوة	التفصيل
١ — المعطيات	رسم المثلث وتحديد منصف الزاوية والمجاهيل
٢ — النظرية	AB/AC = BD/DC
٣ — التعويض	وضع القيم المعروفة
٤ — الحل	الضرب التبادلي ثم الحل الجبري
٥ — التحقق	مراجعة أن مجموع القطعتين = الضلع الكامل

الخلاصة

— منصف الزاوية: يقسم الزاوية إلى قسمين متساويين ويصل إلى الضلع المقابل.

— النظرية: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{DC}$

— خاصية مهمة: منصفات الزوايا الثلاث تتقاطع في نقطة واحدة (مركز الدائرة المحاطة).

— أخطاء شائعة: الخلط بين الضلعين المتجاورين والضلع المقابل، أو نسيان أن BD + DC = BC.

نظرية منصف الزواية

اختبر فهمك

الشرح