نظرية منصف الزاوية
الهندسة — نسب المثلث
الهدف: فهم نظرية منصف الزاوية وتطبيقها لإيجاد الأطوال المجهولة.
التعريف والنظرية — تفاعلي
— منصف الزاوية: القطعة التي تقسم زاوية المثلث إلى جزأين متساويين، وتصل إلى الضلع المقابل.
— النظرية: إذا كان AD منصف الزاوية ∠BAC، فإن النسبة AB/AC تساوي BD/DC.
— حرّك السلايدرات لتغيير AB وAC. شاهد كيف يتغير موضع D على الضلع BC تبعاً لنسبة الضلعين.
مثال ١ — مفصل
المعطيات
— مثلث ABC: AB = 6، AC = 14، BC = 18.
— AD منصف الزاوية ∠BAC. المطلوب: BD.
التحقق
— AB/AC = 6/14 = 3/7 ≈ 0.43
— BD/DC = 5.4/12.6 = 3/7 ≈ 0.43 ✓
BD = 5.4 | DC = 12.6
أمثلة إضافية
مثال ٢ — إيجاد النسبة
— مثلث XYZ: XY = 8، XZ = 12. منصف الزاوية X يقسم YZ إلى YW وWZ.
YW : WZ = 2 : 3
مثال ٣ — إيجاد ضلع مجهول
— مثلث PQR: PQ = 9، QR = 15. منصف الزاوية P يقسم QR إلى QS = 6 وSR. المطلوب: PR.
— SR = QR − QS = 15 − 6 = 9
PR = 13.5
تمارين تطبيقية
تمرين ١
— مثلث، الضلعان المتجاوران للزاوية A هما 8 و 12، والضلع المقابل طوله 15. جد تقسيم منصف الزاوية للضلع المقابل.
تمرين ٢
— منصف زاوية يقسم الضلع المقابل بنسبة 3:4. إذا كان أحد الضلعين المتجاورين = 9، فما طول الآخر؟
خطوات الحل المنهجية
الخلاصة
— منصف الزاوية: يقسم الزاوية إلى قسمين متساويين ويصل إلى الضلع المقابل.
— النظرية:
— خاصية مهمة: منصفات الزوايا الثلاث تتقاطع في نقطة واحدة (مركز الدائرة المحاطة).
— أخطاء شائعة: الخلط بين الضلعين المتجاورين والضلع المقابل، أو نسيان أن BD + DC = BC.
اختبار: نظرية منصف الزاوية
1 / 10مقدمة الدرس
في هذا الدرس راح نتكلم عن ميزة، أو سر من أسرار المثلث، والميزة هذه متعلقة بمنصف الزاوية.
تعريف منصف الزاوية
أولًا، إيش منصف الزاوية؟
منصف الزاوية هو القطعة المستقيمة التي تقسم الزاوية إلى نصفين، يعني تقسمها بالنص، وتمتد إلى الضلع المقابل.
مو شرط أنها تكون عمودية على الضلع المقابل، ومو شرط أنها تكون في منتصف الضلع المقابل، المهم أنها تقسم الزاوية إلى نصفين.
ملاحظة مهمة
عندنا هنا مثلث، وهنا منصف الزاوية.
لو كبرنا الزاوية نشوف كيف المنصف يتغير، وما يكون دائمًا في المنتصف، وما يكون عمودي على الضلع المقابل، وهذه نقطة مهمة.
ملاحظة العلاقة
خلونا نغير في إعدادات المثلث، مثلًا نمسك الضلع اللي فوق ونطوله، نخليه أطول بشكل كبير، ونمسك الضلع اللي تحت وننزله تحت عشان الزاوية تفتح.
راح نلاحظ أن فيه علاقة ما بين الضلعين هذول اللي فوق واللي تحت، وما بين الجزئين من الضلع المقابل اللي قسمهم منصف الزاوية، يعني الجزء هذا والجزء هذا.
نظرية منصف الزاوية
العلاقة هي أن النسبة ما بين الضلع اللي فوق واللي تحت هي نفسها النسبة ما بين القطعة هذه والقطعة هذه.
وهذه تسمى نظرية منصف الزاوية في المثلث.
مثال
لو كان عندنا مثلث، الضلع هنا 6، وهنا 14، والضلع المقابل يساوي 18، وعندنا هنا قطعة منصفة للزاوية.
نبغى نطلع الجزئية هذه اللي فوق ونسميها X.
إحنا نعرف أن الطول الكامل 18، لكن نبغى نعرف كم الجزء هذا وكم الجزء اللي تحته.
نكتب التناسب:
6 ÷ 14 = X ÷ (18 - X)
يعني الضلع هذا تقسيم هذا يساوي طول القطعة هذه تقسيم طول القطعة الثانية.
الحل
نحل المعادلة، وتطلع معنا:
X = 5.4
إذن الجزء العلوي يساوي 5.4، والجزء السفلي يساوي:
18 - 5.4
عن هذا الدرس
مقدمة الدرس في هذا الدرس راح نتكلم عن ميزة، أو سر من أسرار المثلث، والميزة هذه متعلقة بمنصف الزاوية. تعريف منصف الزاوية أولًا، إيش منصف الزاوية؟ منصف… هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.
