الدالة العكسية واختبار الخط الأفقي: مفهومها والتناظر حول y = x ومتى يكون للدالة معكوس
ما هي الدالة العكسية
ما هو مفهوم الدالة العكسية وعلاقتها باختبار الخط الأفقي؟
الدالة العكسية من اسمها تعكس مفعول الدالة الأصلية. فلو عندنا دالة تحوّل درجة الحرارة من Celsius إلى Fahrenheit، دالتها العكسية تحوّل من Fahrenheit إلى Celsius.
فنقدر ننظر للموضوع أن الدالة الأصلية عندنا قيمة x ونطلع قيمة y، أما في الدالة العكسية فعندنا قيمة y ونطلع قيمة x.
الدالة الأسية ومعكوسها اللوغاريتم
نريد أن نرى هذا المبدأ في أشهر الدوال العكسية وهي الدالة اللوغاريتمية، وهي معكوسة الدالة الأسية.
فلو أخذنا الدالة الأسية للأساس 2، أي 2 أس x: عندما x تساوي 3، y تساوي 8. فنرسم الدالة الأسية ونذهب إلى محور x ونرى ما يقابلها في y.
أما في دالتها العكسية فنقول log 8 للأساس 2 يطلع الناتج 3: عندنا الثمانية اللي هي قيمة y ونبغى نطلع ما يقابلها من قيمة x.
مثال الاستثمار
مثال بسيط: لو عندك استثمار مثلاً في البنك وينمو بشكل أسي، وبعد 10 سنوات رح يوصل 2 مليون.
في الدالة الأصلية نسأل: بعد 5 سنوات كم يوصل المبلغ؟ أو بعد 10 سنوات كم يوصل المبلغ؟
أما في الدالة العكسية فنسأل: متى يوصل 2 مليون؟ أو متى يوصل 1.5 مليون؟
فهذا هو مبدأ الدالة ومعكوسها.
التناظر حول المستقيم y = x
بيانياً لو رسمنا أي دالة مع دالتها العكسية نلاقيها تتناظر حول المستقيم y = x. فهنا عندنا الدالة وهنا عندنا معكوسها، فلو طوينا المستوى حول المستقيم y = x نلاقيهم يتطابقون.
اختبار الخط الأفقي
باقي نعرف اختبار الخط الأفقي وكيف يختلف عن اختبار الخط الرأسي.
تعرفنا سابقاً على اختبار الخط الرأسي، وقلنا إننا نجيب خط رأسي ونمرّ على منحنى العلاقة من أقصى اليسار إلى أقصى اليمين، ونتأكد أنه يتقاطع مع المنحنى مرة واحدة فقط. بعدين نقول عن العلاقة هذه إنها تمثل دالة.
نفس الشي اختبار الخط الأفقي. الآن تأكدنا إنها دالة، فنجيب خط أفقي ونمرّره من الأعلى إلى الأسفل على منحنى الدالة، ونتأكد أنه يتقاطع مع المنحنى مرة واحدة فقط. فإذا الدالة اجتازت هذا الاختبار نقول إن عندها دالة عكسية.
معناتها ليس كل دالة تجتاز اختبار الخط الأفقي، وليس كل دالة عندها دالة عكسية.
الدالة x تربيع وحصر المجال
فلو أخذنا الدالة x تربيع، ورسمتها زي كذا، نلاحظ أنها تجتاز اختبار الخط الرأسي، لذلك قلنا عنها دالة، لكنها لا تجتاز اختبار الخط الأفقي: نرى أنها تتقاطع أكثر من مرة عندما نقوم بالاختبار.
أحياناً يهمّنا من الدالة العكسية جزء معين من المجال. مثلاً في دالة x تربيع، لو حصرنا المجال في الأعداد الموجبة: شلنا x السالبة والمنحنى على اليسار، يبقى معنا المنحنى على اليمين.
فالآن المنحنى هذا يجتاز اختبار الخط الرأسي والخط الأفقي، ومعناتها الجزء هذا نقدر نطلع له دالة عكسية.
عن هذا الدرس
تعلّم مفهوم الدالة العكسية: الدالة f تأخذ x وتعطي y، ومعكوسها f⁻¹ يأخذ y ويعيد x، كالتحويل بين Celsius و Fahrenheit، والدالة الأسية 2ˣ ومعكوسها اللوغاريتم… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.