التمدد الرأسي والأفقي للدوال: التوسع والتضيق في a f(x) و f(bx) مع أمثلة

التمدد الرأسي والأفقي: أربع حالات

لما نتكلم عن التمدد الرأسي والتمدد الأفقي للدوال فغالباً نتكلم عن أربع حالات.

في التمدد الرأسي الموضوع كله يصير رأسي: يا إما نسحب الدالة رأسياً ونسميه توسع رأسي، أو نضغطها رأسياً ونسميه تضيق رأسي.

وأفقياً نفس الطريقة: يا إما نضيّق الدالة أفقياً ونسميه تضيق أفقي، أو نوسّعها ونسميه توسع أفقي.

دالة الساين

ومن أجمل الدوال اللي توضح لنا هذه المفاهيم وينعكس عليها في الرسم بشكل جميل دالة الساين.

فبالنسبة لدالة الساين لما نسوي لها تمدد رأسي، هذا التوسع الرأسي، وكذا يكون التضيق الرأسي. ولما نروح للتمدد الأفقي، هذا هو التضيق الأفقي، وكذا يكون عندنا التوسع الأفقي.

معادلة التمدد الرأسي

الآن باقي عندنا المعادلات. بالنسبة لدالة الساين، لو بنسوي لها توسع رأسي نضربها في عدد أعلى من الواحد. نضربها في اثنين ونشوف ايش تصير النتيجة، نضربها مثلاً في عشرة ونشوف كيف يصير لها تمدد رأسي.

أما لما بنسوي لها تضيق رأسي فنضربها في عدد ما بين الصفر والواحد. نضربها في 0.5، نضربها في 0.1، ونشوف كيف يصير لها تضيق رأسي.

فبكل بساطة لما نشوف مثلاً دالة x² مضروبة في 2 نعرف أنها نفسها الدالة الأم ولكن سوينا لها توسع رأسي. ولما نشوفها مضروبة في نص، هي نفسها الدالة الأم ولكن سوينا لها تضيق رأسي.

التمدد الأفقي استبدال

نروح الآن إلى دالة الساين والتمدد الأفقي. فلما نتكلم عن التمدد الأفقي فإحنا نتكلم عن استبدال: يعني نشيل كل x في المعادلة ونحط بدالها مضروب الـ x الجديد.

التضيق الأفقي: تسريع

فبالنسبة لدالة الساين لما نسوي لها تضيق أفقي، نضرب الـ x في عدد أعلى من الواحد. نضربها مثلاً 2x ونستبدلها. ما نضرب المعادلة، لا. نشوف الـ x وينها، نشيلها ونحط بدالها مضروب الـ x الجديد.

فلو ضربناها بـ 2x نشوف كيف صار عندنا تضيق أفقي. ولو بالغنا وضربناها بـ 10x، أو استبدلنا الـ x بـ 10x، نشوف كيف صار عندنا التضيق الأفقي.

مفهوم التضيق الأفقي كأننا سرّعنا الـ x. يعني هنا سرّعنا الـ x بـ 10x، فالأشياء اللي ممكن تصير بعد 10 وحدات راح تصير عندنا في الوحدة الأولى. هذا هو مفهوم التمدد الأفقي بشكل عام.

التوسع الأفقي: تبطيء

طيب لو ضربنا في عدد ما بين الصفر والواحد، أو استبدلنا الـ x بمضروبها في عدد ما بين الصفر والواحد، فإحنا سوينا توسع أفقي. ونلاحظ أننا ما زلنا نستبدل: نشيل الـ x ونحط بدالها مثلاً 0.2 ضرب x، ونشوف كيف سوينا توسع أفقي.

فالموضوع هنا شبيه بعكس التسريع اللي هو التبطيء، كأننا بطّأنا الدالة. فالأشياء اللي ممكن تصير عندنا عند الوحدة الأولى ممكن ما تصير إلا عند الوحدة الخامسة.

التمدد الأفقي على x²

خلونا نشوف التمدد الأفقي على الدالة التربيعية x². لو استبدلنا x بـ 4x مثلاً، فمعناتها الـ x نشيلها ونحط بدالها 4x، والتربيع يصير على الـ 4 وعلى الـ x، فيطلع عندنا 16x². ونشوف كيف رسمتها كأننا سوينا لها تضيق أفقي.

وأخيراً لو بنسوي لها توسع أفقي، فنشيل الـ x ونحط بدالها مثلاً 0.2x، والتربيع على كل الرقم والـ x، ونربّع الـ 0.2 يطلع 0.04x². ونلاحظ أنها نفس الدالة الأم ولكن مبطّأة جداً، ورسمتها راح تكون زي x² ولكن بطيئة.