الدوال الأم: الثابتة والمحايدة والتربيعية والتكعيبية مع أمثلة
السرعة لا تتغير مع الزمن، فالدالة ثابتة: لكل من 0 إلى 4. الرسم خط أفقي عند 140.
الكمية تساوي عدد الدقائق نفسه: ، إذن لتر و لترات. الرسم خط يمر بنقطة الأصل بميل 1.
المساحة = الضلع في نفسه: .
و . لاحظ القفزة من 4 إلى 9 بزيادة الضلع خطوة واحدة فقط.
المجال: الجهة الموجبة فقط لأن الطول لا يكون سالباً.
الحجم = الضلع مضروباً في نفسه ثلاث مرات: .
و .
لو عوّضنا عدداً سالباً في الدالة الأم لبقيت الإشارة سالبة: ، لكن في مسألة المكعب المجال هو الجهة الموجبة فقط.
الدوال الأم الأربع
الدوال الرئيسية للدوال الخطية ودوال كثيرات الحدود هي أربع دوال: الدالة الثابتة، والدالة المحايدة، والدالة التربيعية، والدالة التكعيبية.
يمكننا تمثيل الدوال الخطية وكثيرات الحدود بأمثلة من حياتنا اليومية، فالكثير من الدوال الشائعة نراها حولنا كل يوم.
الدالة الثابتة
مثلاً لو عندنا سيارة تسير بسرعة ثابتة 140 على مدى 4 ساعات، فهذه عندنا دالة ثابتة. نقدر نرسمها زي كذا: خط أفقي عند 140 على مجال الدالة كامل.
الدالة المحايدة
أما بالنسبة للدالة المحايدة، فلو عندنا مثلاً خزان قاعدين نعبيه بمعدل ثابت: لتر في كل دقيقة. فكذا نعبي الخزان، عندنا تعبئة مستمرة، بعد كل دقيقة راح يكون عندنا لتر زيادة. فهذا مثال لدالة محايدة: f(x) = x. لاحظ عندنا دقيقة واحدة يقابلها لتر واحد، ودقيقتان يقابلهما لتران. فهذا هو المقصود في الدالة المحايدة.
الدالة التربيعية
أما بالنسبة للدالة التربيعية فهذه رسمتها زي كذا: نأخذ العدد الذي على المحور x ونربعه. لاحظ أن التزايد يكبر كلما اتجهنا يميناً: 2 تربيع 4، و3 تربيع 9، و4 تربيع 16. فلما قفزنا من 4 إلى 5 قفزنا من 16 إلى 25 على المنحنى، بينما في الدالة المحايدة من 4 إلى 5 خطوة واحدة فقط. فالتزايد أسرع بكثير في الدالة التربيعية.
نقاط بسيطة لازم ننتبه لها
مثال على الدالة التربيعية: مساحة المربع. x هي طول الضلع، والمنحنى يعطينا المساحة. فلو طول الضلع 2 مساحة المربع 4، ولو طول الضلع 3 مساحة المربع 9. لكن هنا حالة خاصة: لا يوجد طول ضلع سالب، فالمجال هو الجهة الموجبة فقط. فانتبه دائماً للمجال والمدى، واختر الدالة الأم الأنسب لكل حالة.
الدالة التكعيبية
وأخيراً عندنا الدالة التكعيبية، وأول ما نرى الرسمة نلاحظ الفرق الواضح ما بين الدالة التكعيبية والدالة التربيعية في الجهة السالبة. لاحظ أن قيمة الدالة التربيعية موجبة والمنحنى موجب على الجهة السالبة، لأن التربيع يلغي الإشارة السالبة: فلو عندنا سالب اثنين في سالب اثنين يعطينا موجب أربعة. بينما لو رحنا للدالة التكعيبية فالسالب يبقى معنا في الجهة السالبة: لو عندنا سالب اثنين نضرب سالب اثنين في سالب اثنين يطلع موجب أربعة، نضرب أيضاً في سالب اثنين يطلع سالب ثمانية، لأن عندنا هنا تكعيب، والتكعيب يرجعنا إلى نفس الإشارة السالبة. أما إذا كانت x موجبة فيعطينا إشارة موجبة.
مثال: حجم المكعب
مثال على استخدام الدالة التكعيبية: حجم المكعب. x هي طول الضلع، والحجم يساوي x تكعيب: نضرب العدد في نفسه ثلاث مرات، فلو الضلع 2 يكون الحجم 2 في 2 في 2 يساوي 8. والمجال هنا الجهة الموجبة فقط لأن الطول لا يكون سالباً.
عن هذا الدرس
الدوال الأم للدوال الخطية وكثيرات الحدود: الثابتة f(x)=c والمحايدة f(x)=x والتربيعية f(x)=x² والتكعيبية f(x)=x³، بأمثلة من الحياة (سرعة ثابتة، تعبئة خزان،… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.