الدوال الأم: الثابتة والمحايدة والتربيعية والتكعيبية والقيمة المطلقة بأمثلة من الحياة

في هذا الدرس سنتحدث عن الدوال الرئيسية، الدوال الأم، بعد أن عرفنا ماذا تعني الدالة في الدرس السابق.

ما هي الدوال الأم

أولًا، ماذا تعني الدوال الرئيسية أو الأم؟ هي الدوال الأساسية التي تتكرر. وقلنا «الأم» لأنه توجد نسخ منها معدّلة تأتي معنا، ولكن هي الأساس. فلما نشوف مثلًا دالة 2x فأساسها الدالة الأم x، ولما نشوف دالة x² ÷ 2 + 3 فأساسها هي الدالة التربيعية x²، وهكذا. ورح نشوف بعدين التحويلات الهندسية، وإيش يعني لما نضيف عددًا أو نقسم على عدد أو نضرب في عدد بالنسبة للدوال.

الدالة الثابتة

الدالة الأم الأولى اللي معنا هي الدالة الثابتة: مهما تغيّر المتغير المستقل، أو x، فقيمة y دائمًا ثابتة، ونمثلها بخط أفقي مستقيم. فمثلًا لو قلنا الدالة y = 5 فهي دائمًا ثابتة عند الخمسة مهما تغيّر المتغير المستقل، اللي هو المتغير الأفقي. ونقول لها أحيانًا f(x) = c، والمقصود بـ c عدد ثابت، أو أي عدد ثابت.

ناخذ مثالًا على الدالة الثابتة: لو قلنا سعر قلم على مدى 10 سنوات ما تغيّر، مثلًا سعره 5 ريال. فلما نرسم الدالة اللي تربط العلاقة ما بين سعر القلم ومرور الوقت والسنوات، نلاقيها دالة ثابتة عند 5 على مدى 10 سنوات.

الدالة المحايدة

بعدين عندنا الدالة f(x) = x، الدالة المحايدة. ليش محايدة؟ لأن قيمة x نفس قيمة y: مهما غيّرنا في x نلاقي y نفسها.

مثال على هذه الدالة: لما نعبّي خزانًا بتدفق ثابت، وبعد كل دقيقة نعبّي لترًا واحدًا، فالدالة راح تكون رسمتها: بعد الدقيقة الأولى لتر، وبعد الدقيقة الثانية لتران. فالآن لازم تنتبه وتسأل: طيب ما بين الصفر والواحد إيش قاعد يصير؟ في حالتنا هذه التعبئة مستمرة، ففي كل لحظة مخزون المياه قاعد يزيد، فمعناها نقدر نوصل ما بين النقطتين. لأن عندنا حالات في دوال ثانية يكون فيها قفزات، أما في حالتنا هذه فإحنا مستمرون تدريجيًا أو بشكل خطي، فنقدر نوصل ما بين النقاط وتصير عندنا دالة متصلة. فهذه الدالة f(x) = x.

الدالة التربيعية

الدالة الأم اللي بعدها الدالة التربيعية. واللي يميزها أنها تربّع الأعداد السالبة: إذا كانت x سالبة تربّعها وتصير موجبة، لذلك المنحنى يظهر معنا في الجهة الموجبة حتى عندما نذهب إلى الجهة السالبة من x.

وأكثر ما يميزها هنا الشكل الانحنائي. فعمليًا يمكن أن ننظر لها إلى جسم أو شيء ينزل إلى الأسفل، ولكن هناك قوة ثانية، أو صراع، يرفعه إلى الأعلى. فعندما نصل إلى القاع فكأنه يكون هناك تعادل، بعدين غلبت القوة التي ترفعه إلى أعلى فارتفع هذا الجسم. فعندنا مثال بسيط: لما نشوت الكرة في الهواء ترتفع إلى أعلى، توصل إلى قمة معيّنة وتثبت، بعدين الجاذبية تنزل هذه الكرة. فلأن عندنا أشياء كثيرة فيها نفس السلوك، صارت الدالة التربيعية من أكثر الدوال اللي تتكرر معنا.

الدالة التكعيبية

بعد كذا عندنا الدالة التكعيبية. لاحظ أنها في اليسار تروح سالبة، لأن الأعداد السالبة لما نعطيها أس 3 ترجع سالبة، بينما في التربيعية لما حطينا لها أس 2 راح تصير موجبة. والنقطة هذه مهمة: لما نحط الأس زوجيًا فمعناها أن العدد يرجع موجبًا حتى لو كان سالبًا، وإذا صار الأس فرديًا فالعدد يبقى سالبًا إذا كان الأساس سالبًا. وهذا السبب اللي يخلينا نكتفي بالدالة التربيعية والدالة التكعيبية في الدوال الأم: ما عندنا x⁴ ولا x⁵ ولا x⁶ لأنها نفس السلوك؛ إذا كان أسها زوجيًا تصير نفس الدالة التربيعية، وإذا كان أسها فرديًا تصير نفس الدالة التكعيبية اللي قدامنا.

ومن أبسط الأمثلة على الدالة التكعيبية حجم المكعب: فلو عندنا x يمثل طول ضلع المكعب، فـ y أو الدالة رح تعطينا حجم المكعب. طبعًا ما رح ناخذ هنا أعدادًا سالبة في المجال، لأنه ما فيه طول ضلع سالب. وهذه التفاصيل اللي لازم دائمًا ننتبه لها، لأن فيه قيمًا غير مقبولة في المجال عمليًا، فعشان كذا لازم نطلعها من المتغير المستقل. حتى لو كانت الدالة التكعيبية تقبل جميع القيم من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية، ففي كل حالة نستخدمها لازم نحدد إيش القيم المقبولة والقيم غير المقبولة. وفي حالتنا هذه قلنا إن x تمثل طول ضلع، فخلاص ناخذ من الصفر إلى ما لا نهاية، لأنه ما فيه طول ضلع سالب، فنطلع كل الأرقام السالبة من المجال.

لماذا نقف عند الدالة التكعيبية

بعد كذا، عند الدالة التكعيبية نوقف، ما راح ناخذ x⁴ و x⁵ زي ما قلنا سابقًا، لأنه إذا كان الأس زوجيًا فرح تتبع نفس نمط أو سلوك الدالة التربيعية، وإذا كان الأس فرديًا فرح تكون نفس الدالة التكعيبية. وممكن تجرب رسم هذه الدوال بنفسك عشان تتأكد: هذه عندنا مثلًا رسمة الدالة x⁴ وهنا x⁶، نلاحظ نفس النمط لأن الأس زوجي، وهذه رسمة الدالة x⁵ وهذه x⁷، نلاحظ أنهما نفس نمط الدالة التكعيبية.

دالة القيمة المطلقة

بعدين عندنا دالة القيمة المطلقة f(x) = |x|. القيمة المطلقة تلغي الأعداد السالبة لـ x، يعني أي قيمة سالبة تجعلها موجبة. لذلك كيف نرسمها؟ نرسم الجهة الموجبة، ثم نعتبر أن الجهة السالبة نفس الموجبة: نكرر نفس الرسم اللي هنا في اليمين، نكرره في اليسار. فهذه هي دالة القيمة المطلقة.

متى نستخدمها؟ نستخدمها غالبًا في الأبعاد، لما يكون ما يهمني القيمة موجبة أو سالبة. فمثلًا لما نقيس بُعد جسم عن نقطة، فما يهمني راح إلى اليمين أو إلى اليسار، يهمني البُعد عن النقطة سواء كان موجبًا أو سالبًا، فعشان كذا ناخذ القيمة المطلقة. وأيضًا لو المطلوب منا مثلًا نحافظ على درجة حرارة الغرفة 24 درجة مئوية، فسواء ارتفعنا إلى الأعلى أو نزلنا إلى الأسفل فإحنا بعيدون عن الهدف، فهنا نستخدم القيمة المطلقة للفرق عشان نعرف بُعدنا عن الهدف.