قاعدة كرامر لحل نظام من ٣ معادلات

طريقة كريمر — نظام ثلاث معادلات

الرياضيات — الوحدة الأولى

أربع محددات

D, Dx, Dy, Dz

الشرط

D ≠ 0

القانون

x=Dx/D, y=Dy/D, z=Dz/D

١مقدمة — الأنظمة الثلاثية

— ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل ← مصفوفة معاملات 3×3.
— طريقة كريمر تتطلب: عدد المعادلات = عدد المتغيرات.
— نحتاج أربع محددات: D و Dx و Dy و Dz.

شكل النظام الثلاثي:

a_1x + b_1y + c_1z = d_1

a_2x + b_2y + c_2z = d_2

a_3x + b_3y + c_3z = d_3

x = Dx/D y = Dy/D z = Dz/D

٢بناء المصفوفات المساعدة

مصفوفة Dمعاملات المتغيرات كما هي

مصفوفة Dxاستبدل عمود x بعمود الثوابت

مصفوفة Dyاستبدل عمود y بعمود الثوابت

مصفوفة Dzاستبدل عمود z بعمود الثوابت

— في كل مصفوفة مساعدة: استبدل عمود المتغير المطلوب فقط، وابقِ بقية الأعمدة كما هي.

٣مثال تطبيقي شامل

4x + 5y - 6z = -14

3x - 2y + 7z = 47

7x - 6y - 8z = 15

الخطوة ١ — مصفوفة المعاملات ومحددتها D:

D = \begin{vmatrix} 4 & 5 & -6 \\ 3 & -2 & 7 \\ 7 & -6 & -8 \end{vmatrix}

= 621

— D = 621 ≠ 0 — يمكن تطبيق طريقة كريمر.

الخطوة ٢ — حساب Dx (استبدل عمود x بالثوابت):

D_x = \begin{vmatrix} -14 & 5 & -6 \\ 47 & -2 & 7 \\ 15 & -6 & -8 \end{vmatrix}

= 3105

x = \frac{D_x}{D} = \frac{3105}{621} = 5

الخطوة ٣ — حساب Dy (استبدل عمود y بالثوابت):

D_y = \begin{vmatrix} 4 & -14 & -6 \\ 3 & 47 & 7 \\ 7 & 15 & -8 \end{vmatrix}

= -1242

y = \frac{D_y}{D} = \frac{-1242}{621} = -2

الخطوة ٤ — حساب Dz (استبدل عمود z بالثوابت):

D_z = \begin{vmatrix} 4 & 5 & -14 \\ 3 & -2 & 47 \\ 7 & -6 & 15 \end{vmatrix}

= 2484

z = \frac{D_z}{D} = \frac{2484}{621} = 4

x = 5 | y = −2 | z = 4

٤مميزات طريقة كريمر

خوارزمية واضحةخطوات ثابتة قابلة للبرمجة

كل متغير مستقليُحسب بشكل منفصل

مناسبة للكبيرة4×4 و5×5 وأكبر

أقل عرضة للخطأالعمليات منتظمة ومتكررة

الطريقة مناسبة للبرمجة لخطواتها الثابتة

٥ملخص الخطوات

الخطوة	الإجراء	الرمز
١	احسب محددة مصفوفة المعاملات	D
٢	استبدل عمود x بالثوابت واحسب	Dx
٣	استبدل عمود y بالثوابت واحسب	Dy
٤	استبدل عمود z بالثوابت واحسب	Dz
٥	x = Dx ÷ D	x
٦	y = Dy ÷ D	y
٧	z = Dz ÷ D	z

٦الخلاصة

— الأنظمة الثلاثية: تحتاج أربع محددات 3×3 بدلاً من اثنتين.
— المصفوفة المساعدة: استبدل عمود المتغير المطلوب بعمود الثوابت فقط.
— الشرط الأساسي: D ≠ 0 قبل البدء بأي خطوة.
— القانون: x=Dx/D، y=Dy/D، z=Dz/D — نفس قانون النظام الثنائي مع إضافة z.

تمارين طريقة كريمر الثلاثية

الرياضيات — الوحدة الأولى

مسألة أ

حلول كسرية

مسألة ب

x=−4، y=5، z=−1

أمسألة أ — نظام ثلاثي

3x + 5y + 2z = -7

-4x + 3y - 5z = -19

5x + 4y - 7z = -15

الخطوة ١ — محددة المعاملات D:

D = \begin{vmatrix} 3 & 5 & 2 \\ -4 & 3 & -5 \\ 5 & 4 & -7 \end{vmatrix}

= 3(-1) - 5(53) + 2(-31)

= -3 - 265 - 62 = -330

الخطوة ٢ — المحددات المساعدة:

D_x = \begin{vmatrix} -7 & 5 & 2 \\ -19 & 3 & -5 \\ -15 & 4 & -7 \end{vmatrix} = -345

D_y = \begin{vmatrix} 3 & -7 & 2 \\ -4 & -19 & -5 \\ 5 & -15 & -7 \end{vmatrix} = 855

D_z = \begin{vmatrix} 3 & 5 & -7 \\ -4 & 3 & -19 \\ 5 & 4 & -15 \end{vmatrix} = -465

الخطوة ٣ — تطبيق قانون كريمر:

x = \frac{-345}{-330} = \frac{23}{22}

y = \frac{855}{-330} = -\frac{57}{22}

z = \frac{-465}{-330} = \frac{31}{22}

— هذا النظام له حلول كسرية — صحيح رياضياً لكن قد يحتاج مراجعة أرقام المسألة الأصلية.

الحلول كسرية — D = −330

بمسألة ب — نظام ثلاثي

6x + 5y + 2z = -1

-x + 3y + 7z = 12

5x - 7y - 3z = -52

الخطوة ١ — محددة المعاملات D:

D = \begin{vmatrix} 6 & 5 & 2 \\ -1 & 3 & 7 \\ 5 & -7 & -3 \end{vmatrix}

= 6(40) - 5(-32) + 2(-8)

= 240 + 160 - 16 = 384

— D = 384 ≠ 0 — يمكن تطبيق طريقة كريمر.

الخطوة ٢ — حساب Dx (استبدل عمود x بالثوابت):

D_x = \begin{vmatrix} -1 & 5 & 2 \\ 12 & 3 & 7 \\ -52 & -7 & -3 \end{vmatrix}

= -1(40) - 5(328) + 2(72)

= -40 - 1640 + 144 = -1536

الخطوة ٣ — حساب Dy (استبدل عمود y بالثوابت):

D_y = \begin{vmatrix} 6 & -1 & 2 \\ -1 & 12 & 7 \\ 5 & -52 & -3 \end{vmatrix}

= 1920

الخطوة ٤ — حساب Dz (استبدل عمود z بالثوابت):

D_z = \begin{vmatrix} 6 & 5 & -1 \\ -1 & 3 & 12 \\ 5 & -7 & -52 \end{vmatrix}

= -384

الخطوة ٥ — تطبيق قانون كريمر:

x = \frac{-1536}{384} = -4

y = \frac{1920}{384} = 5

z = \frac{-384}{384} = -1

الخطوة ٦ — التحقق:

6(-4)+5(5)+2(-1)

= -24+25-2 = -1 \checkmark

-(-4)+3(5)+7(-1)

= 4+15-7 = 12 \checkmark

5(-4)-7(5)-3(-1)

= -20-35+3 = -52 \checkmark

x = −4 | y = 5 | z = −1

جدولملخص النتائج

المسألة	D	Dx	Dy	Dz	الحل
أ	−330	−345	855	−465	حلول كسرية
ب	384	−1536	1920	−384	x=−4، y=5، z=−1

ملخصالخلاصة

— مسألة أ: الحلول كسرية — النظام صحيح لكن قد تحتاج أرقامه مراجعة.
— مسألة ب: حلول صحيحة x=−4، y=5، z=−1 تم التحقق منها في المعادلات الثلاث.
— التطوير: في كل محددة 3×3 نتبع نمط + − + بحسب الصف الأول.
— التحقق ضروري: عوّض في المعادلات الثلاث بعد الحل للتأكد.

1

النظام 5A: 3x + 5y + 2z = -7, -4x + 3y - 5z = -19, 5x + 4y - 7z = -15

2

النظام 5B: 6x + 5y + 2z = -1, -x + 3y + 7z = 12, 5x - 7y - 3z = -52

3

مثال عام: نظام ثلاثي متجانس

4

حالة خاصة: نظام بمحددة صفر

5

تطبيق عملي: مسألة كلامية ثلاثية

6

نظام بمعاملات كسرية

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...

دروس ذات صلة

حل نظام معادلات بطرق مختلفة: التعويض التقليدي و قاعدة كرامر و باستخدام النظير الضربي

الثانوية

قاعدة كرامر لحل نظام من معادلتين

الثانوية

حل نظام المعادلات باستخدام النظير الضربي للمصفوفة

الثانوية

دلالة المميز في المعادلات التربيعية و أنواع الحلول

الثانوية

حل معادلات كثيرات الحدود

الثانوية