الأحداثيات القطبية إلى الديكارتية
الأهداف
- فهم الفرق بين الإحداثيات القطبية والديكارتية
- إتقان قوانين التحويل: x = r cos θ, y = r sin θ
- ربط المفهوم بدائرة الوحدة
- تطبيق التحويل على أمثلة متنوعة
- التعامل مع الحالات الخاصة (r سالب، زوايا سالبة)
الإحداثيات القطبية
r: المسافة من نقطة الأصل
θ: الزاوية من المحور الموجب
الرمز: (r, θ)
الإحداثيات الديكارتية
x: المسافة الأفقية
y: المسافة العمودية
الرمز: (x, y)
قوانين التحويل الأساسية
y = r × sin θ
🎯 مصور التحويل التفاعلي
أمثلة تطبيقية
المثال الأول: r = 4, θ = π/6
📊 حل تفاعلي خطوة بخطوة
الحل التفصيلي:
المثال الثاني: r = -6, θ = -120°
⚠️ حالة خاصة: r سالب وزاوية سالبة
الحل مع الحالات الخاصة:
خصائص الدوال المثلثية
📐 الخصائص الأساسية:
cos دالة زوجية: cos(-θ) = cos(θ)
sin دالة فردية: sin(-θ) = -sin(θ)
🔍 استكشاف الخصائص
مختبر التحويل المتقدم
🎪 استوديو التحويل الشامل
• قوانين التحويل: x = r cos θ, y = r sin θ
• الربط بدائرة الوحدة: نفس المبدأ لكن r يمكن أن يكون أي قيمة
• cos دالة زوجية: cos(-θ) = cos(θ)
• sin دالة فردية: sin(-θ) = -sin(θ)
• r السالب: يعكس اتجاه النقطة 180 درجة
• الزوايا السالبة: تُحسب في الاتجاه المعاكس لعقارب الساعة
التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية
في الدرس السابق تعلمنا كيف نحوّل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية باستخدام العلاقتين:
- x = r cosθ - y = r sinθ
أما في هذا الدرس فسنقوم بالعكس، أي نحول من الإحداثيات الديكارتية **(x , y)** إلى الإحداثيات القطبية **(r , θ)**.
أولاً: إيجاد نصف القطر (r)
نصف القطر يحسب مباشرة باستخدام العلاقة:
**r = √(x² + y²)**
وهي تمثل المسافة بين نقطة الأصل والنقطة.
ثانياً: إيجاد الزاوية (θ)
لحساب الزاوية نستخدم دالة الظل العكسية:
**θ = tan⁻¹(y / x)**
ولكن يجب الانتباه إلى موقع النقطة.
### إذا كانت x موجبة
أي أن النقطة تقع في:
- الربع الأول. - أو الربع الرابع.
فنستخدم الناتج مباشرة:
**θ = tan⁻¹(y / x)**
### إذا كانت x سالبة
أي أن النقطة تقع في:
- الربع الثاني. - أو الربع الثالث.
فنحسب أولاً:
**θ = tan⁻¹(y / x)**
ثم نضيف:
**180°**
ليصبح:
**θ = tan⁻¹(y / x) + 180°**
لماذا نضيف 180°؟
لأن دالة الظل دورية، ودورتها تساوي:
**180°**
أي أن:
**tan(θ) = tan(θ + 180°)**
ولهذا فإن آلة الحاسبة تعطي الزاويتين بالقيمة نفسها للظل، ولذلك نستخدم إشارة **x** لمعرفة الربع الصحيح.
- إذا كانت **x موجبة** فلا نضيف شيئًا. - إذا كانت **x سالبة** نضيف **180°**.
الحالة الخاصة
إذا كانت:
**x = 0**
فلا يمكن استخدام:
**tan⁻¹(y / x)**
لأن القسمة على صفر غير معرفة.
في هذه الحالة:
- إذا كانت **y موجبة** فإن:
**θ = 90°**
- وإذا كانت **y سالبة** فإن:
**θ = -90°**
مثال (1)
إذا كانت:
**x = 2**
**y = 2**
### إيجاد r
r = √(2² + 2²)
= √8
= 2√2
### إيجاد θ
θ = tan⁻¹(2 ÷ 2)
= tan⁻¹(1)
= 45°
وبما أن x موجبة فلا نضيف 180°.
إذن الإحداثيات القطبية هي:
**(2√2 , 45°)**
مثال (2)
إذا كانت:
**x = -2**
**y = -2**
### إيجاد r
r = √((-2)² + (-2)²)
= √8
= 2√2
### إيجاد θ
tan⁻¹((-2) ÷ (-2))
= tan⁻¹(1)
= 45°
لكن بما أن x سالبة فإن النقطة تقع في الربع الثالث، لذلك:
θ = 45° + 180°
= 225°
إذن الإحداثيات القطبية هي:
**(2√2 , 225°)**
مثال (3)
إذا كانت:
**x = 0**
**y = -2**
بما أن x تساوي صفر، فلا نستخدم دالة الظل العكسية.
- الزاوية = **-90°** - نصف القطر:
r = √(0² + (-2)²)
= √4
= 2
إذن الإحداثيات القطبية هي:
**(2 , -90°)**
ولو كانت النقطة:
**(0 , 2)**
فإن:
- **r = 2** - **θ = 90°**
خلاصة
- **r = √(x² + y²).** - إذا كانت **x موجبة**:
**θ = tan⁻¹(y/x).**
- إذا كانت **x سالبة**:
**θ = tan⁻¹(y/x) + 180°.**
- إذا كانت **x = 0**: - **y > 0 ⇒ θ = 90°.** - **y < 0 ⇒ θ = -90°.**
عن هذا الدرس
في نظام الإحداثيات القطبية يُحدد موقع النقطة بمعرفة المسافة r والزاوية θ، والتحويل إلى الديكارتية: x = r cos θ و y = r sin θ، مثال (4, π/6) → (2√3, 2)، مع… هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.