الأهداف
- فهم الفرق بين الإحداثيات القطبية والديكارتية
- إتقان قوانين التحويل: x = r cos θ, y = r sin θ
- ربط المفهوم بدائرة الوحدة
- تطبيق التحويل على أمثلة متنوعة
- التعامل مع الحالات الخاصة (r سالب، زوايا سالبة)
الإحداثيات القطبية
r: المسافة من نقطة الأصل
θ: الزاوية من المحور الموجب
الرمز: (r, θ)
الإحداثيات الديكارتية
x: المسافة الأفقية
y: المسافة العمودية
الرمز: (x, y)
قوانين التحويل الأساسية
y = r × sin θ
🎯 مصور التحويل التفاعلي
أمثلة تطبيقية
المثال الأول: r = 4, θ = π/6
📊 حل تفاعلي خطوة بخطوة
الحل التفصيلي:
المثال الثاني: r = -6, θ = -120°
⚠️ حالة خاصة: r سالب وزاوية سالبة
الحل مع الحالات الخاصة:
خصائص الدوال المثلثية
📐 الخصائص الأساسية:
cos دالة زوجية: cos(-θ) = cos(θ)
sin دالة فردية: sin(-θ) = -sin(θ)
🔍 استكشاف الخصائص
مختبر التحويل المتقدم
🎪 استوديو التحويل الشامل
• قوانين التحويل: x = r cos θ, y = r sin θ
• الربط بدائرة الوحدة: نفس المبدأ لكن r يمكن أن يكون أي قيمة
• cos دالة زوجية: cos(-θ) = cos(θ)
• sin دالة فردية: sin(-θ) = -sin(θ)
• r السالب: يعكس اتجاه النقطة 180 درجة
• الزوايا السالبة: تُحسب في الاتجاه المعاكس لعقارب الساعة
التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية
في الدرس السابق تعلمنا كيف نحوّل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية باستخدام العلاقتين:
- x = r cosθ - y = r sinθ
أما في هذا الدرس فسنقوم بالعكس، أي نحول من الإحداثيات الديكارتية **(x , y)** إلى الإحداثيات القطبية **(r , θ)**.
أولاً: إيجاد نصف القطر (r)
نصف القطر يحسب مباشرة باستخدام العلاقة:
**r = √(x² + y²)**
وهي تمثل المسافة بين نقطة الأصل والنقطة.
ثانياً: إيجاد الزاوية (θ)
لحساب الزاوية نستخدم دالة الظل العكسية:
**θ = tan⁻¹(y / x)**
ولكن يجب الانتباه إلى موقع النقطة.
### إذا كانت x موجبة
أي أن النقطة تقع في:
- الربع الأول. - أو الربع الرابع.
فنستخدم الناتج مباشرة:
**θ = tan⁻¹(y / x)**
### إذا كانت x سالبة
أي أن النقطة تقع في:
- الربع الثاني. - أو الربع الثالث.
فنحسب أولاً:
**θ = tan⁻¹(y / x)**
ثم نضيف:
**180°**
ليصبح:
**θ = tan⁻¹(y / x) + 180°**
لماذا نضيف 180°؟
لأن دالة الظل دورية، ودورتها تساوي:
**180°**
أي أن:
**tan(θ) = tan(θ + 180°)**
ولهذا فإن آلة الحاسبة تعطي الزاويتين بالقيمة نفسها للظل، ولذلك نستخدم إشارة **x** لمعرفة الربع الصحيح.
- إذا كانت **x موجبة** فلا نضيف شيئًا. - إذا كانت **x سالبة** نضيف **180°**.
الحالة الخاصة
إذا كانت:
**x = 0**
فلا يمكن استخدام:
**tan⁻¹(y / x)**
لأن القسمة على صفر غير معرفة.
في هذه الحالة:
- إذا كانت **y موجبة** فإن:
**θ = 90°**
- وإذا كانت **y سالبة** فإن:
**θ = -90°**
مثال (1)
إذا كانت:
**x = 2**
**y = 2**
### إيجاد r
r = √(2² + 2²)
= √8
= 2√2
### إيجاد θ
θ = tan⁻¹(2 ÷ 2)
= tan⁻¹(1)
= 45°
وبما أن x موجبة فلا نضيف 180°.
إذن الإحداثيات القطبية هي:
**(2√2 , 45°)**
مثال (2)
إذا كانت:
**x = -2**
**y = -2**
### إيجاد r
r = √((-2)² + (-2)²)
= √8
= 2√2
### إيجاد θ
tan⁻¹((-2) ÷ (-2))
= tan⁻¹(1)
= 45°
لكن بما أن x سالبة فإن النقطة تقع في الربع الثالث، لذلك:
θ = 45° + 180°
= 225°
إذن الإحداثيات القطبية هي:
**(2√2 , 225°)**
مثال (3)
إذا كانت:
**x = 0**
**y = -2**
بما أن x تساوي صفر، فلا نستخدم دالة الظل العكسية.
- الزاوية = **-90°** - نصف القطر:
r = √(0² + (-2)²)
= √4
= 2
إذن الإحداثيات القطبية هي:
**(2 , -90°)**
ولو كانت النقطة:
**(0 , 2)**
فإن:
- **r = 2** - **θ = 90°**
خلاصة
- **r = √(x² + y²).** - إذا كانت **x موجبة**:
**θ = tan⁻¹(y/x).**
- إذا كانت **x سالبة**:
**θ = tan⁻¹(y/x) + 180°.**
- إذا كانت **x = 0**: - **y > 0 ⇒ θ = 90°.** - **y < 0 ⇒ θ = -90°.**
عن هذا الدرس
التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية في الدرس السابق تعلمنا كيف نحوّل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية باستخدام… هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.
