التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية

التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية

تعلمنا في الدرس السابق أن تمثيل أي نقطة في الإحداثيات القطبية يعتمد على عنصرين:

- البعد عن القطب <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="r" data-tex="r" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45F"></use></g></g></g></svg></span>. - الزاوية <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="\theta" data-tex="\theta" style="display:inline-block;vertical-align: -0.023ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.618ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 469 715" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D703" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D703"></use></g></g></g></svg></span> المقاسة من المحور القطبي.

فمثلاً إذا كانت النقطة تبعد **3** عن القطب، وزاويتها **30°**، فإن تمثيلها القطبي يكون:

**(3 ، 30°)**

لماذا نحول إلى الإحداثيات الديكارتية؟

في كثير من المسائل نحتاج إلى معرفة إحداثيات النقطة على المحورين **X** و **Y**، لذلك نحول النقطة من النظام القطبي إلى النظام الديكارتي.

قوانين التحويل

يتكوّن مثلث قائم الزاوية بين المحورين والنقطة، ولذلك تكون قوانين التحويل مباشرة:

**x = r cosθ**

**y = r sinθ**

وهذه هي القاعدتان الأساسيتان للتحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية.

المثال الأول

إذا كانت النقطة:

**(3 ، 30°)**

فإن:

**x = 3 cos(30°)**

**y = 3 sin(30°)**

وبذلك نحصل على الإحداثيين الديكارتيين للنقطة.

المثال الثاني

إذا كانت النقطة:

**(5 ، π/3)**

فنحوّل الزاوية أولاً إلى درجات.

نعرف أن:

**π = 180°**

إذن:

**π/3 = 60°**

ثم نطبق قوانين التحويل:

**x = 5 cos(60°)**

**y = 5 sin(60°)**

ماذا لو كانت قيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="r" data-tex="r" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45F"></use></g></g></g></svg></span> سالبة؟

إذا كانت قيمة نصف القطر سالبة، فإننا لا نرسم النقطة في الاتجاه المعتاد، وإنما نعكس اتجاه نصف القطر.

فمثلاً إذا كانت النقطة:

**(-6 ، -120°)**

فنبدأ أولاً برسم الزاوية **-120°** مع عقارب الساعة.

ثم لأن قيمة **r** سالبة، نعكس اتجاه نصف القطر، فنصل إلى نقطة مكافئة.

النقاط المكافئة

النقطة:

**(-6 ، -120°)**

تكافئ تماماً النقطة:

**(6 ، 60°)**

أي أن النقطتين تمثلان نفس الموقع في المستوى القطبي.

التحويل المباشر

حتى لو كانت قيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="r" data-tex="r" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D45F"></use></g></g></g></svg></span> سالبة، يمكن تطبيق القانون مباشرة دون الحاجة إلى رسم النقطة.

فنكتب:

**x = -6 cos(-120°)**

**y = -6 sin(-120°)**

وسنحصل على نفس الإحداثيات التي نحصل عليها باستخدام النقطة المكافئة:

**x = 6 cos(60°)**

**y = 6 sin(60°)**

لماذا تعطي النقطتان نفس النتيجة؟

لأن:

**cos(-120°) = -1/2**

بينما:

**cos(60°) = 1/2**

وكذلك:

**sin(-120°) = -√3/2**

بينما:

**sin(60°) = √3/2**

وعند ضرب هذه القيم في **r** السالبة، نحصل في النهاية على نفس الإحداثيات الديكارتية.

وهذا يثبت أن النقطتين القطبيتين المتكافئتين تتحولان دائماً إلى نفس النقطة في الإحداثيات الديكارتية.

الخلاصة

للتحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية نستخدم القاعدتين:

**x = r cosθ**

**y = r sinθ**

وإذا كانت قيمة **r** سالبة، فيمكن إما استخدام النقطة المكافئة ذات نصف القطر الموجب، أو التعويض المباشر في القوانين، وفي الحالتين ستكون النتيجة نفسها.