المسافة بين نقطتين في الإحداثيات القطبية

المسافة بين نقطتين في الإحداثيات القطبية

في هذا الدرس سنتعلم كيف نحسب المسافة بين نقطتين معطاتين بالإحداثيات القطبية.

وتعتبر هذه الطريقة أصعب من حساب المسافة في الإحداثيات الديكارتية.

مقارنة مع الإحداثيات الديكارتية

في النظام الديكارتي كانت المسافة بين نقطتين تحسب باستخدام القانون المعروف:

الجذر التربيعي لـ:

(فرق الإحداث السيني)² + (فرق الإحداث الصادي)²

أما في النظام القطبي فنستخدم قانوناً مختلفاً يعتمد على بعد كل نقطة عن القطب، والزاوية بينهما.

قانون المسافة في الإحداثيات القطبية

إذا كانت النقطتان ممثلتين بالصورة:

(r₁ ، θ₁)

و

(r₂ ، θ₂)

فإن المسافة بينهما تساوي:

√(r₁² + r₂² − 2r₁r₂ cos(θ₂ − θ₁))

وهذا القانون من القوانين المهمة التي يجب حفظها.

متى نستخدم الإحداثيات القطبية؟

بعض المسائل يكون حلها أسهل باستخدام الإحداثيات القطبية.

وفي مسائل أخرى، مثل إيجاد المسافة بين نقطتين، تكون الإحداثيات الديكارتية أبسط من القطبية.

ولذلك يعتمد اختيار النظام المناسب على طبيعة المسألة.

المثال الأول

إذا كانت النقطة الأولى:

(5 ، 310°)

والنقطة الثانية:

(6 ، 345°)

فنطبق القانون مباشرة:

المسافة = √(5² + 6² − 2 × 5 × 6 × cos(345° − 310°))

ثم نجري العمليات الحسابية باستخدام الآلة الحاسبة.

فتكون المسافة تقريباً:

3.44

المثال الثاني

إذا كانت النقطة الأولى:

(8 ، 150°)

والنقطة الثانية:

(3 ، 65°)

فنطبق القانون:

المسافة = √(8² + 3² − 2 × 8 × 3 × cos(65° − 150°))

ثم نحسب الناتج باستخدام الآلة الحاسبة للحصول على المسافة بين النقطتين.

ملاحظة مهمة

لا يهم ترتيب طرح الزاويتين داخل دالة جيب التمام.

فيمكن كتابة:

cos(θ₂ − θ₁)

أو

cos(θ₁ − θ₂)

وسنحصل على النتيجة نفسها.

والسبب أن دالة جيب التمام دالة زوجية، أي أن:

cos(-θ) = cos(θ)

فمثلاً:

65° − 150° = -85°

بينما:

150° − 65° = 85°

وفي الحالتين تكون قيمة جيب التمام متساوية، وبالتالي لا يتغير الناتج النهائي.

الخلاصة

لحساب المسافة بين نقطتين في الإحداثيات القطبية نستخدم القانون:

√(r₁² + r₂² − 2r₁r₂ cos(θ₂ − θ₁))

ولا يؤثر ترتيب طرح الزاويتين داخل دالة جيب التمام، لأن جيب التمام دالة زوجية، فتكون النتيجة واحدة في جميع الأحوال.