المحصلة ومركبات المتجهات

محصلة المتجهات

في هذا الدرس سنتعلم مبدأين مهمين في عالم المتجهات.

المبدأ الأول هو كيف نحسب محصلة متجهين.

والمبدأ الثاني هو كيف نستخرج المركبتين الأفقية والعمودية لمتجه معلوم.

مفهوم محصلة المتجهات

المحصلة هي المتجه الذي يمثل التأثير النهائي لمجموعة من المتجهات.

فلو كان عندنا جسم عند نقطة الأصل، ثم حركناه أفقياً بمقدار 2 سم، وبعد ذلك حركناه رأسياً إلى أعلى بمقدار 3 سم، فإن المحصلة تمثل مكان الجسم النهائي بعد تنفيذ الإزاحتين معاً.

الطريقة الأولى لإيجاد المحصلة

نرسم المتجه الأول.

ثم ننقل المتجه الثاني بحيث تبدأ نقطة بدايته من نهاية المتجه الأول، مع المحافظة على نفس الطول والاتجاه.

بعد ذلك نرسم متجهاً من بداية المتجه الأول إلى نهاية المتجه الثاني.

وهذا المتجه هو محصلة المتجهين.

الطريقة الثانية: متوازي الأضلاع

إذا كان المتجهان يبدآن من نفس النقطة، فيمكن استخدام طريقة متوازي الأضلاع.

نرسم المتجهين من نفس نقطة البداية.

ثم نكمل الشكل ليصبح متوازي أضلاع.

بعدها نرسم القطر الخارج من نقطة البداية إلى الزاوية المقابلة.

وهذا القطر يمثل محصلة المتجهين.

مركبات المتجه

إذا كان لدينا متجه معلوم، وأردنا معرفة مقدار تأثيره في الاتجاه الأفقي والاتجاه العمودي، فإننا نستخرج مركباته.

ولكي نفعل ذلك، يجب أولاً معرفة الزاوية التي يصنعها المتجه مع المحور الأفقي.

المركبة الأفقية

المركبة الأفقية تساوي:

قيمة المتجه × جتا الزاوية (Cos θ)

أي:

المركبة الأفقية = مقدار المتجه × cos(θ)

المركبة العمودية

المركبة العمودية تساوي:

قيمة المتجه × جا الزاوية (Sin θ)

أي:

المركبة العمودية = مقدار المتجه × sin(θ)

لماذا تسمى مركبات؟

لأن المتجه يمكن اعتباره مكوّناً من جزأين:

جزء أفقي.

وجزء عمودي.

فبدلاً من سحب جسم في اتجاه مائل، يمكن اعتبار أننا سحبناه أفقياً بهذا المقدار، ثم رأسياً بالمقدار الآخر، وسيكون التأثير النهائي هو نفسه.