المتجه في المستوى الإحداثي

في هذا الدرس سنتعلم مفهومين مهمين في المتجهات.

المفهوم الأول هو كيف نستخرج المتجه إذا عرفنا نقطة البداية ونقطة النهاية في المستوى الإحداثي.

أما المفهوم الثاني فهو كيف نحسب طول المتجه أو مقداره باستخدام إحداثيات النقطتين.

إيجاد المتجه من نقطتين

لنفرض أن المتجه يبدأ من النقطة A إحداثياتها (-4 ، 2)، وينتهي عند النقطة (3 ، -5).

لكي نكتب المتجه بالصورة الإحداثية، فإننا نحسب فرق الإحداثيات بين نقطة النهاية ونقطة البداية.

نبدأ دائمًا بإحداثيات نقطة النهاية.

فرق الإحداث السيني يساوي:

3 - (-4) = 7

وفرق الإحداث الصادي يساوي:

-5 - 2 = -7

إذن المتجه بالصورة الإحداثية هو:

⟨7 ، -7⟩

معنى الصورة الإحداثية

المتجه بالصورة الإحداثية يمثل متجهًا يبدأ من نقطة الأصل وينتهي عند الإحداثيات الناتجة.

أي أننا نحافظ على نفس الاتجاه ونفس الطول، ولكن ننقل نقطة البداية إلى نقطة الأصل.

ولهذا نستخدم الأقواس الزاوية ⟨ ⟩ للدلالة على أنه متجه وليس نقطة.

حساب طول المتجه

لحساب طول المتجه بين نقطتين نستخدم قانون المسافة.

طول المتجه يساوي:

الجذر التربيعي لـ:

(فرق الإحداث السيني)² + (فرق الإحداث الصادي)²

ولا يهم إذا كانت الفروق سالبة أو موجبة لأننا نربعها.

المثال الأول

فرق الإحداث السيني = 7

فرق الإحداث الصادي = -7

إذن:

طول المتجه = √(7² + (-7)²)

= √(49 + 49)

= √98

≈ 9.9

المثال الثاني

إذا كانت نقطة البداية (0 ، 8)، ونقطة النهاية (-9 ، -3).

أولًا نحسب فرق الإحداث السيني:

-9 - 0 = -9

ثم فرق الإحداث الصادي:

-3 - 8 = -11

ثم نعوض في القانون:

طول المتجه = √((-9)² + (-11)²)

= √(81 + 121)

= √202

≈ 14.2

الخلاصة

لإيجاد المتجه بين نقطتين نحسب فرق الإحداثيات بطرح نقطة البداية من نقطة النهاية.

أما طول المتجه فيحسب باستخدام قانون:

√((فرق السين)² + (فرق الصاد)²)

وهذه الطريقة تمكننا من معرفة اتجاه المتجه ومقداره بمجرد معرفة نقطتي البداية والنهاية.