حل نظام معادلات بطرق مختلفة: التعويض التقليدي و قاعدة كرامر و باستخدام النظير الضربي
حل نظام المعادلات بثلاث طرق
الرياضيات — الجبر الخطي
النظام المستخدم في الأمثلة الثلاثة
الصيغة المصفوفية
✅ لا يتطلب حفظ قوانين
❌ قد يصبح معقداً
✅ مناسب للبرمجة
❌ يتطلب حساب محددات
✅ يمكن إعادة استخدامه
❌ يتطلب حساب النظير
— تأكد من أن المحدد ≠ 0 قبل تطبيق كريمر أو النظير.
— التعويض أسرع للأنظمة البسيطة ذات المعاملات الصغيرة.
— النظير الضربي مفيد للأنظمة الكبيرة أو المتكررة.
— قاعدة كريمر مناسبة للتطبيقات البرمجية والمنهجية.
— استخدم الآلة الحاسبة للعمليات المعقدة لتجنب الأخطاء.
حل نظام المعادلات بالطرق الثلاث — مسائل محلولة
الرياضيات — الجبر الخطي
اختبار: حل نظام المعادلات بثلاث طرق مختلفة
1 / 10في هذا الدرس سنتعلم حل نظام من المعادلات الخطية بثلاث طرق مختلفة، وهي: الطريقة التقليدية بالتعويض، وقاعدة كرامر، وطريقة النظير الضربي للمصفوفات. والمفترض أن نحصل على نفس الحل مهما اختلفت الطريقة المستخدمة.
الطريقة الأولى: التعويض
نبدأ بحل المتغير <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y" data-tex="y" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></span> من المعادلة الأولى، فنحصل على:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=\frac{8-2x}{3}" data-tex="y=\frac{8-2x}{3}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.602ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.443ex" height="4.638ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 5058 2050" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1823.6,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,676)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="38" xlink:href="#MJXG-TEX-N-38"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2222.4,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1367.2,-686)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><rect width="2994.4" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
بعد ذلك نعوض بهذه القيمة في المعادلة الثانية، فتتحول إلى معادلة تحتوي على المتغير <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> فقط.
بحلها نجد أن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x=1" data-tex="x=1" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></div>
ثم نعوض بقيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> في المعادلة الأولى لنحصل على:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=2" data-tex="y=2" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.257ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2323.6 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></div>
وهذه هي الطريقة التقليدية التي اعتدنا عليها قبل دراسة المصفوفات، لكنها تصبح أطول وأكثر عرضة للأخطاء كلما زاد عدد المعادلات.
الطريقة الثانية: قاعدة كرامر
نكوّن أولًا **مصفوفة المعاملات**، والتي يجب أن تكون مصفوفة مربعة، أي أن عدد المعادلات يساوي عدد المتغيرات.
في هذا المثال لدينا متغيران <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> و<span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y" data-tex="y" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></span>، لذلك لدينا معادلتان، ويمكن استخدام قاعدة كرامر.
نحسب محددة مصفوفة المعاملات بضرب عناصر القطر الرئيسي ثم طرح حاصل ضرب عناصر القطر الآخر، فنجد أن قيمة المحددة تساوي:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="5" data-tex="5" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 500 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g></g></g></svg></div>
بعد ذلك نحسب:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x=\frac{\text{محددة }x}{5}" data-tex="x=\frac{\text{محددة }x}{5}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.602ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.293ex" height="4.715ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1376 6317.6 2084" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1905.6,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,676)"><g data-mml-node="mpadded" class="mjxar"><text direction="rtl" unicode-bidi="embed" text-anchor="start" transform="translate(3250,0) scale(1,-1)" font-size="884px" font-family="-apple-system,'Segoe UI',Tahoma,Arial,sans-serif">محددة</text></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3400,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1956,-686)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><rect width="4172" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
وذلك باستبدال عمود معاملات <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> بعمود الثوابت، ثم حساب المحددة الجديدة.
فيكون:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="\text{محددة }x=5" data-tex="\text{محددة }x=5" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.452ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.135ex" height="2.036ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -700 5805.6 900" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mpadded" class="mjxar"><text direction="rtl" unicode-bidi="embed" text-anchor="start" transform="translate(3250,0) scale(1,-1)" font-size="884px" font-family="-apple-system,'Segoe UI',Tahoma,Arial,sans-serif">محددة</text></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3400,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4249.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5305.6,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g></g></g></svg></div>
ومن ثم:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x=\frac{5}{5}=1" data-tex="x=\frac{5}{5}=1" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.602ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.586ex" height="4.638ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 4679.1 2050" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1905.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3123.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4179.1,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></div>
وبالطريقة نفسها نحسب:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=\frac{\text{محددة }y}{5}" data-tex="y=\frac{\text{محددة }y}{5}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.602ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.922ex" height="4.715ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1376 6153.6 2084" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1823.6,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,676)"><g data-mml-node="mpadded" class="mjxar"><text direction="rtl" unicode-bidi="embed" text-anchor="start" transform="translate(3250,0) scale(1,-1)" font-size="884px" font-family="-apple-system,'Segoe UI',Tahoma,Arial,sans-serif">محددة</text></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3400,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1915,-686)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><rect width="4090" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></div>
فنستبدل عمود معاملات <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y" data-tex="y" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></span> بعمود الثوابت، ثم نحسب المحددة الجديدة، فنجد أنها تساوي:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="10" data-tex="10" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.262ex" height="1.557ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 1000 688" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></svg></div>
وبالتالي:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=\frac{10}{5}=2" data-tex="y=\frac{10}{5}=2" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.602ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.532ex" height="4.638ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 5097.1 2050" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1823.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(470,-686)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><rect width="1200" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3541.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4597.1,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></div>
وهكذا وصلنا إلى نفس الحل باستخدام قاعدة كرامر.
الطريقة الثالثة: النظير الضربي للمصفوفة
في هذه الطريقة نحسب أولًا **النظير الضربي لمصفوفة المعاملات**، ثم نضربه في مصفوفة الثوابت.
ولإيجاد النظير الضربي:
- نحسب المحددة. - نبدّل عنصري القطر الرئيسي. - نغيّر إشارات عنصري القطر الآخر. - ثم نقسم المصفوفة الناتجة على قيمة المحددة.
بعد الحصول على النظير الضربي، نضربه في مصفوفة الثوابت، والتي تحتوي في هذا المثال على العددين:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="\begin{bmatrix} 8\\ 9 \end{bmatrix}" data-tex="\begin{bmatrix} 8\\ 9 \end{bmatrix}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -2.149ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 1556 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="5B" xlink:href="#MJXG-TEX-S3-5B"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(528,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="38" xlink:href="#MJXG-TEX-N-38"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="39" xlink:href="#MJXG-TEX-N-39"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1028,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="5D" xlink:href="#MJXG-TEX-S3-5D"></use></g></g></g></g></svg></div>
وبإجراء عملية ضرب المصفوفات نحصل على:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}" data-tex="\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -2.149ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.52ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 1556 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="5B" xlink:href="#MJXG-TEX-S3-5B"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(528,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1028,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="5D" xlink:href="#MJXG-TEX-S3-5D"></use></g></g></g></g></svg></div>
أي أن:
- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x=1" data-tex="x=1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y=2" data-tex="y=2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.257ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2323.6 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span>
الخلاصة
يمكن حل نظام المعادلات الخطية بعدة طرق، منها:
1. التعويض. 2. قاعدة كرامر. 3. استخدام النظير الضربي للمصفوفات.
وعند تطبيق أي من هذه الطرق بطريقة صحيحة، نحصل على نفس الحل النهائي، وهو:
- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x=1" data-tex="x=1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y=2" data-tex="y=2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.257ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2323.6 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span>
عن هذا الدرس
في هذا الدرس سنتعلم حل نظام من المعادلات الخطية بثلاث طرق مختلفة، وهي: الطريقة التقليدية بالتعويض، وقاعدة كرامر، وطريقة النظير الضربي للمصفوفات. والمفترض… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.