طريقة ضرب المصفوفات مع أمثلة
ضرب المصفوفات
— الشرط الأساسي: عدد أعمدة المصفوفة الأولى = عدد صفوف المصفوفة الثانية.
— رتبة المصفوفة الناتجة = صفوف الأولى × أعمدة الثانية.
مثال — يمكن الضرب:
مثال — لا يمكن الضرب:
— العنصر = حاصل ضرب الصف من A في العمود من B.
— نضرب كل عنصر من الصف في العنصر المقابل من العمود ثم نجمع النواتج.
مثال — ضرب مصفوفة 2×3 في 3×2:
أدخل عناصر المصفوفتين لرؤية خطوات الضرب.
المسألة ١٣
المسألة ١٤
المسألة ١٥
المسألة ١٦
المسألة ١٧
المسألة ١٨
| الخاصية | القاعدة | ملاحظة |
|---|---|---|
| شرط الضرب | أعمدة الأولى = صفوف الثانية | الأرقام الداخلية |
| رتبة الناتج | صفوف الأولى × أعمدة الثانية | الأرقام الخارجية |
| عدم التبديل | A×B ≠ B×A | الترتيب مهم |
| التجميع | (A×B)×C = A×(B×C) | يُسمح بتغيير القوسين |
| التوزيع | A×(B+C) = AB+AC | الضرب يتوزع على الجمع |
| مصفوفة الهوية | A×I = I×A = A | لا تغير المصفوفة |
تمارين جمع وطرح المصفوفات
— أوجد الناتج:
كلتا المصفوفتين رتبتهما 4×1 — يمكن الطرح.
— أوجد الناتج:
كلتا المصفوفتين رتبتهما 4×3 — يمكن الطرح.
— أوجد الناتج:
— أوجد الناتج:
كلتا المصفوفتين رتبتهما 2×3 — يمكن الطرح.
— أوجد الناتج:
جميع المصفوفات رتبتها 2×1 — يمكن إجراء العمليات.
الخطوة الأولى — الجمع:
الخطوة الثانية — الطرح:
— أوجد الناتج:
المصفوفتان الأولى والثانية رتبتهما 2×1 — يمكن طرحهما:
| المسألة | الرتبة | النتيجة |
|---|---|---|
| مسألة ١ | 4×1 | ممكن ✓ |
| مسألة ٢ | 4×3 | ممكن ✓ |
| مسألة ٣ | 3×1 و 1×3 | غير ممكن ✗ |
| مسألة ٤ | 2×3 | ممكن ✓ |
| مسألة ٥ | 2×1 | ممكن ✓ |
| مسألة ٦ | 2×1 و 2×2 | غير ممكن ✗ |
اختبار ضرب المصفوفات
1 / 10في هذا الدرس سنتعلم كيف نحسب **محددة مصفوفة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="3 \times 3" data-tex="3 \times 3" style="display:inline-block;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2222.4 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></span>** باستخدام التوسع على الصف الأول.
الخطوة الأولى
نأخذ عناصر الصف الأول بالترتيب:
- العنصر الأول. - العنصر الثاني. - العنصر الثالث.
ثم نكتب بينها الإشارات بالشكل التالي:
**موجب، سالب، موجب**.
وهذا النمط ثابت دائمًا عند التوسع على الصف الأول.
تكوين المحددات الصغرى
لكل عنصر من عناصر الصف الأول ننشئ **محددة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2 \times 2" data-tex="2 \times 2" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span>** بحذف:
- الصف الأول. - والعمود الذي يقع فيه ذلك العنصر.
وبذلك نحصل على ثلاث محددات صغيرة.
المحددة الأولى
للعنصر الأول نحذف:
- الصف الأول. - العمود الأول.
ثم نكتب العناصر المتبقية داخل محددة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2 \times 2" data-tex="2 \times 2" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span>.
المحددة الثانية
للعنصر الثاني نحذف:
- الصف الأول. - العمود الثاني.
ثم نكوّن المحددة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2 \times 2" data-tex="2 \times 2" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span> من العناصر المتبقية.
المحددة الثالثة
للعنصر الثالث نحذف:
- الصف الأول. - العمود الثالث.
ثم نكتب العناصر المتبقية داخل محددة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2 \times 2" data-tex="2 \times 2" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span>.
حساب المحددات
بعد تكوين المحددات الثلاث، نحسب قيمة كل محددة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2 \times 2" data-tex="2 \times 2" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span> بالطريقة التي تعلمناها سابقًا:
**حاصل ضرب القطر الرئيسي ناقص حاصل ضرب القطر الثانوي.**
ثم نضرب قيمة كل محددة في العنصر المقابل لها من الصف الأول، مع مراعاة الإشارات:
**موجب، سالب، موجب**.
الخلاصة
لحساب محددة مصفوفة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="3 \times 3" data-tex="3 \times 3" style="display:inline-block;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2222.4 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></span>:
1. نتوسع على الصف الأول. 2. نستخدم الإشارات: **(+ ، − ، +)**. 3. لكل عنصر نحذف صفه وعموده لتكوين محددة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2 \times 2" data-tex="2 \times 2" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span>. 4. نحسب المحددات الصغرى. 5. نضرب كل محددة في العنصر المقابل لها ثم نجمع النتائج مع مراعاة الإشارات.
عن هذا الدرس
في هذا الدرس سنتعلم كيف نحسب محددة مصفوفة باستخدام التوسع على الصف الأول. الخطوة الأولى نأخذ عناصر الصف الأول بالترتيب: - العنصر الأول. - العنصر الثاني. -… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.