محددة مصفوفة 2x2
محددة المصفوفة 2×2
— لحساب المحددة، يجب أن تكون المصفوفة مربعة: عدد الصفوف = عدد الأعمدة.
— المحددة دائماً تُعطي رقماً واحداً ثابتاً، ليس مصفوفة.
— القطر الرئيسي: من اليسار العلوي إلى اليمين السفلي — يُضرب ويُجمع.
— القطر الثانوي: من اليمين العلوي إلى اليسار السفلي — يُضرب ويُطرح.
— علامة السالب قبل القطر الثانوي جزء أصيل من القانون.
— أوجد محددة المصفوفة:
— أوجد محددة المصفوفة:
أدخل عناصر المصفوفة 2×2 لرؤية الأقطار وحساب المحددة.
| المفهوم | التعريف | ملاحظة |
|---|---|---|
| القطر الرئيسي | يُجمع دائماً | |
| القطر الثانوي | يُطرح دائماً | |
| القانون | رقم ثابت واحد | |
| شرط الحساب | مصفوفة مربعة | صفوف = أعمدة |
| حالة خاصة | لا يوجد نظير ضربي |
تمارين محددة المصفوفة 2×2
— احسب محددة المصفوفة:
نطبق القانون:
— احسب محددة المصفوفة:
— احسب محددة المصفوفة:
— احسب محددة المصفوفة:
| المثال | المصفوفة | الحساب | المحددة |
|---|---|---|---|
| ١ | 10 | ||
| ٢ | 11 | ||
| ٣ | −5 | ||
| ٤ | 30 |
اختبار محددة المصفوفة 2×2
1 / 10في هذا الدرس سنتعلم كيفية حساب **محددة المصفوفة**، ولحساب المحددة لا بد أن تكون المصفوفة **مربعة**، أي أن عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة.
حساب محددة مصفوفة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2 \times 2" data-tex="2 \times 2" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span>
إذا كانت لدينا مصفوفة من الرتبة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2 \times 2" data-tex="2 \times 2" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span>، فإن المحددة تُحسب بضرب عناصر القطر الرئيسي، ثم طرح حاصل ضرب عناصر القطر الآخر.
أي:
**المحددة = (حاصل ضرب القطر الرئيسي) − (حاصل ضرب القطر الثانوي).**
مثال
إذا كانت المصفوفة:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}" data-tex="\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -2.149ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.914ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 3056 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="5B" xlink:href="#MJXG-TEX-S3-5B"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(528,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2528,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="5D" xlink:href="#MJXG-TEX-S3-5D"></use></g></g></g></g></svg></div>
فنحسب المحددة كالتالي:
- حاصل ضرب القطر الرئيسي: <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2 \times 3 = 6" data-tex="2 \times 3 = 6" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.176ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 4056 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2500.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3556,0)"><use data-c="36" xlink:href="#MJXG-TEX-N-36"></use></g></g></g></svg></span>. - حاصل ضرب القطر الثانوي: <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="4 \times 1 = 4" data-tex="4 \times 1 = 4" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.176ex" height="1.717ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 4056 759" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2500.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3556,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></span>.
إذن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="6 - 4 = 2" data-tex="6 - 4 = 2" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.176ex" height="1.717ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 4056 759" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="36" xlink:href="#MJXG-TEX-N-36"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2500.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3556,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></div>
فتكون قيمة المحددة **2**.
الانتباه إلى الإشارات
من أكثر الحالات التي تسبب أخطاء وجود عدد سالب في القطر الثانوي.
فإذا أصبحت المصفوفة:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="\begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}" data-tex="\begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -2.149ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.674ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 3834 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="5B" xlink:href="#MJXG-TEX-S3-5B"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(528,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1500,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(1889,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3306,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="5D" xlink:href="#MJXG-TEX-S3-5D"></use></g></g></g></g></svg></div>
فنحسبها كالتالي:
- القطر الرئيسي: <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2 \times 3 = 6" data-tex="2 \times 3 = 6" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.176ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 4056 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2500.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3556,0)"><use data-c="36" xlink:href="#MJXG-TEX-N-36"></use></g></g></g></svg></span>. - القطر الثانوي: <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="(-4) \times 1 = -4" data-tex="(-4) \times 1 = -4" style="display:inline-block;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.457ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6390 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(389,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1167,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1667,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2278.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3278.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4056.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5112,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5890,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></span>.
وبما أن القانون ينص على طرح حاصل ضرب القطر الثانوي، فإن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="6 - (-4) = 6 + 4 = 10" data-tex="6 - (-4) = 6 + 4 = 10" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.873ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 9668 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="36" xlink:href="#MJXG-TEX-N-36"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2111.4,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2889.4,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3389.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4056.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5112,0)"><use data-c="36" xlink:href="#MJXG-TEX-N-36"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5834.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6834.4,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7612.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(8668,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></svg></div>
فتكون قيمة المحددة **10**.
الخلاصة
لحساب محددة مصفوفة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2 \times 2" data-tex="2 \times 2" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span>:
1. نضرب عناصر القطر الرئيسي. 2. نطرح حاصل ضرب عناصر القطر الثانوي. 3. ننتبه جيدًا لإشارات الأعداد، لأن طرح عدد سالب يتحول إلى جمع.
عن هذا الدرس
في هذا الدرس سنتعلم كيفية حساب محددة المصفوفة، ولحساب المحددة لا بد أن تكون المصفوفة مربعة، أي أن عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة. حساب محددة مصفوفة إذا كانت… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.