ماهي المتباينات و كيف تختلف حلولها عن المساواة
المتباينات
المعادلات — علامة يساوي (=):
— تعطي حلاً واحداً محدداً. تساوي نقطة واحدة فقط.
المتباينات — أكبر أو أصغر:
— تعطي مجالاً من الحلول. أي عدد أكبر من 3 إلى ما لا نهاية.
مثال ١:
— أي عدد أكبر من 3: مثل 4، 5، 6، 7، ...
مثال ٢:
— أي عدد أكبر من أو يساوي 3: مثل 3، 4، 5، 6، ...
— في بُعدين نستخدم و معاً.
— المعادلة تمثل خطاً، والمتباينة تمثل منطقة.
الخط الأساسي:
مثال ١ — المنطقة فوق الخط:
المنطقة المظللة فوق الخط — الخط منقط (3 غير مشمول)
مثال ٢ — فوق الخط وتشمله:
الخط مستمر — الخط نفسه ضمن الحل
مثال ٣ — المنطقة تحت الخط:
المنطقة المظللة تحت الخط — الخط منقط
مثال ٤ — تحت الخط وتشمله:
الخط مستمر — الخط نفسه ضمن الحل
| الخاصية | المعادلات | المتباينات |
|---|---|---|
| الرمز | = | >, <, ≥, ≤ |
| عدد الحلول | حل واحد محدد | مجال من الحلول |
| في المستوى | خط مستقيم | منطقة مظللة |
| الخط المنقط | — | عند > أو < فقط |
| فوق الخط | — | |
| تحت الخط | — |
تمارين محلولة — البرمجة الخطية
— تصوغ أسماء من 10 إلى 25 عقداً، ومن 15 إلى 40 سواراً شهرياً.
— أجرة صياغة العقد 50 ريالاً، وأجرة السوار 30 ريالاً.
— صاغت في أحد الأشهر 30 قطعة على الأقل. كم قطعة من كل نوع لأكبر أجر؟
المتغيرات:
دالة الهدف:
القيود:
الحل الرسومي:
المنطقة المظللة تمثل جميع الحلول الممكنة
نقاط الزوايا:
| النقطة | |||
|---|---|---|---|
| A | 10 | 20 | 1,100 |
| B | 15 | 15 | 1,200 |
| C | 25 | 15 | 1,700 |
| D ★ | 25 | 40 | 2,450 |
| E | 10 | 40 | 1,700 |
— مصنع ينتج نوعين من الإنارة: النوع الأول بـ 25 ريالاً، والثاني بـ 35 ريالاً.
— الطاقة الإنتاجية لا تزيد على 450 وحدة يومياً.
— لا يقل النوع الأول عن 100، ولا يزيد النوع الثاني على 200.
— ما عدد وحدات كل نوع لأكبر دخل يومي؟
المتغيرات ودالة الهدف:
القيود:
الحل الرسومي:
نقاط الزوايا:
| النقطة | |||
|---|---|---|---|
| A | 100 | 0 | 2,500 |
| B | 100 | 200 | 9,500 |
| C ★ | 250 | 200 | 13,250 |
| D | 450 | 0 | 11,250 |
— مصنع يُعيد تدوير ما لا يزيد على 1200 طن من البلاستيك شهرياً.
— لا يقل استخدام الحاويات الصغيرة عن 300 طن، ولا الكبيرة عن 450 طناً.
— الربح: 175 ريالاً للطن الصغير، 200 ريال للطن الكبير.
— ما أكبر ربح يمكن تحقيقه؟
المتغيرات ودالة الهدف:
القيود:
الحل الرسومي:
نقاط الزوايا:
| النقطة | |||
|---|---|---|---|
| A | 300 | 450 | 142,500 |
| B ★ | 300 | 900 | 232,500 |
| C | 750 | 450 | 221,250 |
| المسألة | دالة الهدف | الحل الأمثل |
|---|---|---|
| المجوهرات | 2,450 ريال | |
| الإنارة | 13,250 ريال | |
| التدوير | 232,500 ريال |
اختبار المتباينات
1 / 10في هذا الدرس سنتعلم كيف نحل **نظامًا من المتباينات**.
ما الفرق بين المتباينة الواحدة ونظام المتباينات؟
عندما يكون لدينا **متباينة واحدة**، فإن حلها يكون **منطقة كاملة** على المستوى الإحداثي، بخلاف معادلات المساواة التي يكون حلها نقطة أو خطًا محددًا.
ويرجع ذلك إلى أن المتباينات تستخدم العلاقات:
- أكبر من (>) - أصغر من (<) - أكبر من أو يساوي (≥) - أصغر من أو يساوي (≤)
ولذلك يكون الحل عبارة عن منطقة وليس قيمة واحدة.
كيف نحل نظام المتباينات؟
إذا كان لدينا أكثر من متباينة، فإن **حل النظام هو المنطقة المشتركة** التي تحقق جميع المتباينات في الوقت نفسه.
مثال
لدينا المتباينتان:
- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y > 2x - 4" data-tex="y > 2x - 4" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.448ex" height="1.995ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 4618 882" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3E" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3E"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2323.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3117.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4118,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y \le -\frac{1}{2}x + 3" data-tex="y \le -\frac{1}{2}x + 3" style="display:inline-block;vertical-align: -0.781ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.872ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 5689.6 1209.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="2264" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2601.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3395.1,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4189.3,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5189.6,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></span>
نبدأ برسم المستقيم:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y = 2x - 4" data-tex="y = 2x - 4" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.448ex" height="1.995ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 4618 882" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2323.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3117.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4118,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></div>
ثم نحدد منطقة الحل، وهي المنطقة الواقعة **أعلى المستقيم**، ولا نضم المستقيم نفسه لأن العلاقة هي **أكبر من (>)** فقط.
بعد ذلك نرسم المستقيم:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y = -\frac{1}{2}x + 3" data-tex="y = -\frac{1}{2}x + 3" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.552ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.204ex" height="4.588ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 5836 2028" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2601.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-686)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3541.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4335.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5336,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></div>
ومنطقة الحل هي **أسفل المستقيم** مع تضمين المستقيم، لأن العلاقة هي **أصغر من أو يساوي (≤)**.
حل النظام
بعد رسم المتباينتين، يكون **حل النظام هو المنطقة المشتركة** بين منطقتي الحل، أي الجزء الذي يحقق المتباينتين معًا.
متى لا يكون للنظام حل؟
قد يحدث أحيانًا ألا توجد أي منطقة مشتركة بين المتباينات.
مثلاً إذا كان لدينا:
- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y \ge x + 5" data-tex="y \ge x + 5" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.317ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 4118 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2617.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3618,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y < x - 4" data-tex="y < x - 4" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.317ex" height="1.995ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 4118 882" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3C" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2617.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3618,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></span>
فإن منطقتي الحل منفصلتان تمامًا ولا تتقاطعان، وبالتالي **لا يوجد حل للنظام**.
الخلاصة
- حل المتباينة الواحدة يكون منطقة على المستوى الإحداثي. - حل نظام المتباينات هو **تقاطع مناطق الحل** لجميع المتباينات. - إذا لم توجد منطقة مشتركة، فإن **النظام ليس له حل**.
عن هذا الدرس
في هذا الدرس سنتعلم كيف نحل نظامًا من المتباينات. ما الفرق بين المتباينة الواحدة ونظام المتباينات؟ عندما يكون لدينا متباينة واحدة، فإن حلها يكون منطقة… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.