تعريف المصفوفات ورتبها
المصفوفات — التعريف والعمليات
— المصفوفة هي ترتيب منتظم للأرقام أو الرموز في صفوف وأعمدة.
— تُكتب بين قوسين مربعين، وتُرمز بحرف كبير مثل A أو B.
— تُستخدم في حل أنظمة المعادلات وتنظيم البيانات والنمذجة الرياضية.
— مثال: يعني العنصر في الصف الثاني، العمود الثالث.
— رتبة المصفوفة تُعبَّر عنها بصيغة: عدد الصفوف × عدد الأعمدة.
— الصفوف هي الخطوط الأفقية، والأعمدة هي الخطوط العمودية.
مثال ١ — رتبة 2×4:
مثال ٢ — رتبة 4×1 (مصفوفة عمود):
مثال ٣ — رتبة 3×2:
المصفوفة المربعة — عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة:
مصفوفة الصف — صف واحد وعدة أعمدة:
مصفوفة العمود — عمود واحد وعدة صفوف:
— شرط الجمع: يجب أن تكون المصفوفتان من نفس الرتبة.
— طريقة الجمع: نجمع كل عنصر مع العنصر المقابل في نفس الموضع.
— رتبة الناتج تساوي رتبة المصفوفتين الأصليتين.
مثال — جمع مصفوفتين 2×2:
— شرط الطرح: نفس شرط الجمع — يجب أن تكون المصفوفتان من نفس الرتبة.
— نطرح كل عنصر من العنصر المقابل في نفس الموضع.
مثال — طرح مصفوفتين 2×3:
تنظيم بيانات ثلاثة مخازن:
رتبة المصفوفة: 3×3 (3 مخازن × 3 أنواع تمور)
| المفهوم | التعريف / الشرط | المثال |
|---|---|---|
| المصفوفة | ترتيب أرقام في صفوف وأعمدة | |
| رتبة المصفوفة | عدد الصفوف × عدد الأعمدة | |
| المصفوفة المربعة | عدد الصفوف = عدد الأعمدة | |
| الجمع | نفس الرتبة — العناصر المتقابلة | |
| الطرح | نفس الرتبة — العناصر المتقابلة | |
| ترقيم العناصر | الصف ، العمود | : صف ٢، عمود ٣ |
تمارين المصفوفات
— حدد رتبة كل مصفوفة فيما يأتي:
١ — المصفوفة:
— صف واحد وعمودان.
٢ — المصفوفة:
— مصفوفة مربعة بصفين وعمودين.
٣ — المصفوفة:
— صفان وأربعة أعمدة.
٤ — المصفوفة:
— مصفوفة مربعة بثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة.
٥ — المصفوفة:
— مصفوفة عمود: ثلاثة صفوف وعمود واحد.
٦ — المصفوفة:
— صف واحد وعمود واحد فقط.
— إذا كانت المصفوفتان A وB كما يلي، فما قيمة كل عنصر مما يأتي:
— نقاط ثلاثة طلاب في مسابقة علمية على 3 جولات:
| الاسم | الجولة ١ | الجولة ٢ | الجولة ٣ | المجموع |
|---|---|---|---|---|
| سعود | 221 | 201 | 185 | 607 |
| علي | 168 | 233 | 159 | 560 |
| مروان | 187 | 189 | 211 | 587 |
الخطوة ١ — تحديد بنية المصفوفة:
الخطوة ٢ — المصفوفة النهائية:
أ — تنظيم البيانات (الصفوف = أنواع التمور، الأعمدة = المخازن):
ب — مجموع كل عمود (إجمالي كل مخزن):
ج — مجموع كل صف (إجمالي كل نوع تمر):
| التحليل | النتيجة | التفسير |
|---|---|---|
| إجمالي المخزن ١ | 3,700 kg | أقل المخازن محتوى |
| إجمالي المخزن ٢ | 6,425 kg | أكبر المخازن محتوى |
| إجمالي المخزن ٣ | 5,950 kg | متوسط المحتوى |
| إجمالي الخلاص | 7,750 kg | أكثر الأنواع توفراً |
| إجمالي البرحي | 3,875 kg | أقل الأنواع توفراً |
| إجمالي السكري | 4,450 kg | متوسط التوفر |
اختبار المصفوفات
1 / 10في هذا الدرس سنتعرف على **المصفوفات**، وكيف نحدد رتبتها، وما هي شروط جمعها وطرحها، ولماذا نستخدمها في الرياضيات.
ما هي المصفوفة؟
المصفوفة هي **ترتيب للبيانات داخل صفوف وأعمدة**.
ولتحديد رتبة أي مصفوفة ننظر إلى:
- عدد الصفوف. - عدد الأعمدة.
فتكون **رتبة المصفوفة = عدد الصفوف × عدد الأعمدة**.
فمثلًا:
- إذا كان للمصفوفة صفان وثلاثة أعمدة، فرتبتها **2 × 3**. - وإذا كان لها صفان وعمودان، فرتبتها **2 × 2**.
لماذا نهتم برتبة المصفوفة؟
نحتاج إلى معرفة رتبة المصفوفة لأن العمليات الرياضية عليها تعتمد على أبعادها.
فعند **جمع أو طرح مصفوفتين** يجب أن تكون **رتبتهما متساوية**.
أي يجب أن يكون:
- عدد الصفوف متساويًا. - وعدد الأعمدة متساويًا.
إذا اختلفت الرتبة، فلا يمكن إجراء عملية الجمع أو الطرح.
كيف نجمع أو نطرح المصفوفات؟
بعد التأكد من أن المصفوفتين لهما الرتبة نفسها، نجمع أو نطرح **كل عنصر مع العنصر المناظر له** في المصفوفة الأخرى.
أي أن العنصر الموجود في:
- الصف الأول والعمود الأول يجمع أو يطرح مع العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول. - والعنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني يجمع أو يطرح مع العنصر الموجود في الموقع نفسه، وهكذا لبقية العناصر.
استخدامات المصفوفات
من أهم استخدامات المصفوفات أنها تساعدنا على **حل أنظمة المعادلات**.
فيمكن تحويل مجموعة من المعادلات إلى مصفوفة، ثم استخدام عمليات المصفوفات المختلفة لإيجاد الحل بطريقة منظمة وسهلة.
الخلاصة
- المصفوفة هي ترتيب للبيانات في صفوف وأعمدة. - رتبة المصفوفة تساوي: **عدد الصفوف × عدد الأعمدة**. - لا يمكن جمع أو طرح مصفوفتين إلا إذا كانت رتبتهما متساوية. - يتم الجمع أو الطرح بين العناصر المتناظرة في الموقع نفسه. - تُستخدم المصفوفات في تطبيقات كثيرة، ومن أهمها حل أنظمة المعادلات.
عن هذا الدرس
في هذا الدرس سنتعرف على المصفوفات، وكيف نحدد رتبتها، وما هي شروط جمعها وطرحها، ولماذا نستخدمها في الرياضيات. ما هي المصفوفة؟ المصفوفة هي ترتيب للبيانات… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.