مصفوفة الوحدة (المصفوفة المحايدة)
مصفوفة الوحدة (المصفوفة المحايدة)
الرياضيات — المصفوفات
— أي عدد نضربه في 1 يعطي نفس العدد الأصلي.
— شرط: يجب أن تكون المصفوفتان بنفس الرتبة.
| المفهوم | القاعدة |
|---|---|
| العنصر المحايد | الرقم 1 — a × 1 = a |
| مصفوفة الوحدة | قطر = 1، باقي = 0، مربعة الشكل |
| الرمز | I₂ للرتبة 2، I₃ للرتبة 3 … |
| الخاصية المحايدة | A × I = I × A = A |
| شرط الضرب | يجب أن تتطابق رتبة المصفوفتين |
— مصفوفة الوحدة: مصفوفة مربعة قطرها الرئيسي = 1 وباقي عناصرها = 0.
— الأحجام: توجد مصفوفة وحدة لكل رتبة — I₂، I₃، I₄ وما إلى ذلك.
— الخاصية الأساسية: ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة يعيد المصفوفة الأصلية.
— شرط مهم: يجب أن تتطابق رتبة المصفوفة مع رتبة مصفوفة الوحدة عند الضرب.
اختبار: مصفوفة الوحدة (المصفوفة المحايدة)
1 / 10في هذا الدرس سنتعرف على **مصفوفة الوحدة**، وهي العنصر المحايد في عملية ضرب المصفوفات، تمامًا كما أن العدد **1** هو العنصر المحايد في ضرب الأعداد.
العنصر المحايد في الضرب
نعرف أن أي عدد إذا ضربناه في **1** فإن الناتج يبقى هو العدد نفسه.
وبالمثل في عالم المصفوفات، توجد مصفوفة خاصة إذا ضربنا بها أي مصفوفة مناسبة، فإن الناتج يكون نفس المصفوفة دون تغيير، وتسمى **مصفوفة الوحدة**.
تعريف مصفوفة الوحدة
مصفوفة الوحدة هي المصفوفة التي تكون جميع عناصر قطرها الرئيسي تساوي **1**، بينما تكون جميع العناصر الأخرى **0**.
فمثلًا:
- مصفوفة الوحدة من الرتبة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2 \times 2" data-tex="2 \times 2" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span> يكون قطرها الرئيسي مكوّنًا من العددين 1 و1، وبقية العناصر أصفار. - ومصفوفة الوحدة من الرتبة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="3 \times 3" data-tex="3 \times 3" style="display:inline-block;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2222.4 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></span> يكون القطر الرئيسي فيها أيضًا كله 1، وجميع العناصر الأخرى تساوي 0.
شرط الضرب بمصفوفة الوحدة
لكي نضرب مصفوفة في مصفوفة الوحدة، يجب أن تكون **مصفوفة الوحدة من نفس الرتبة**.
فإذا كانت المصفوفة من الرتبة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2 \times 2" data-tex="2 \times 2" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span>، فلا بد أن نضربها في مصفوفة وحدة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2 \times 2" data-tex="2 \times 2" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span>.
وإذا كانت من الرتبة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="3 \times 3" data-tex="3 \times 3" style="display:inline-block;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2222.4 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></span>، فيجب أن تكون مصفوفة الوحدة أيضًا <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="3 \times 3" data-tex="3 \times 3" style="display:inline-block;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2222.4 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></span>.
نتيجة الضرب
عند ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة من نفس الرتبة، فإن جميع العناصر تبقى كما هي، ويكون الناتج هو **المصفوفة الأصلية نفسها**.
فإذا حسبنا عناصر المصفوفة الناتجة صفًا بصف وعمودًا بعمود، سنجد أن كل عنصر يساوي نظيره في المصفوفة الأصلية، ولذلك لا يحدث أي تغيير.
الخلاصة
- مصفوفة الوحدة هي العنصر المحايد في ضرب المصفوفات. - عناصر القطر الرئيسي فيها تساوي **1**، وبقية العناصر تساوي **0**. - يجب أن تكون من **نفس رتبة** المصفوفة التي نريد ضربها. - ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة يعطي **المصفوفة نفسها**.
عن هذا الدرس
في هذا الدرس سنتعرف على مصفوفة الوحدة، وهي العنصر المحايد في عملية ضرب المصفوفات، تمامًا كما أن العدد 1 هو العنصر المحايد في ضرب الأعداد. العنصر المحايد… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.