قاعدة كرامر لحل نظام من ٣ معادلات
طريقة كريمر — نظام ثلاث معادلات
الرياضيات — الوحدة الأولى
— طريقة كريمر تتطلب: عدد المعادلات = عدد المتغيرات.
— نحتاج أربع محددات: D و Dx و Dy و Dz.
| الخطوة | الإجراء | الرمز |
|---|---|---|
| ١ | احسب محددة مصفوفة المعاملات | D |
| ٢ | استبدل عمود x بالثوابت واحسب | Dx |
| ٣ | استبدل عمود y بالثوابت واحسب | Dy |
| ٤ | استبدل عمود z بالثوابت واحسب | Dz |
| ٥ | x = Dx ÷ D | x |
| ٦ | y = Dy ÷ D | y |
| ٧ | z = Dz ÷ D | z |
— المصفوفة المساعدة: استبدل عمود المتغير المطلوب بعمود الثوابت فقط.
— الشرط الأساسي: D ≠ 0 قبل البدء بأي خطوة.
— القانون: x=Dx/D، y=Dy/D، z=Dz/D — نفس قانون النظام الثنائي مع إضافة z.
تمارين طريقة كريمر الثلاثية
الرياضيات — الوحدة الأولى
| المسألة | D | Dx | Dy | Dz | الحل |
|---|---|---|---|---|---|
| أ | −330 | −345 | 855 | −465 | حلول كسرية |
| ب | 384 | −1536 | 1920 | −384 | x=−4، y=5، z=−1 |
— مسألة ب: حلول صحيحة x=−4، y=5، z=−1 تم التحقق منها في المعادلات الثلاث.
— التطوير: في كل محددة 3×3 نتبع نمط + − + بحسب الصف الأول.
— التحقق ضروري: عوّض في المعادلات الثلاث بعد الحل للتأكد.
اختبار: طريقة كريمر لحل الأنظمة الثلاثية
1 / 10في هذا الدرس سنتعرف على **قاعدة كرامر**، وهي طريقة لحل نظام من المعادلات الخطية، بشرط أن يكون **عدد المعادلات مساويًا لعدد المتغيرات**. وعند تكوين مصفوفة المعاملات، يجب أن تكون **مصفوفة مربعة** مثل <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2 \times 2" data-tex="2 \times 2" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.507ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2222.4 666" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span> أو <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="3 \times 3" data-tex="3 \times 3" style="display:inline-block;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2222.4 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></span> أو <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="4 \times 4" data-tex="4 \times 4" style="display:inline-block;vertical-align: 0;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 2222.4 677" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></span>.
لماذا تستخدم قاعدة كرامر؟
تُستخدم قاعدة كرامر كثيرًا في أنظمة الحاسب، لأن خطواتها واضحة ومنظمة، مما يجعل تحويلها إلى خوارزميات أو برامج أمرًا سهلًا.
أما الطرق التقليدية، مثل التعويض أو الحذف، فتزداد خطواتها كلما زاد عدد المعادلات، وبالتالي ترتفع احتمالية الوقوع في الأخطاء.
مثال على نظام من ثلاث معادلات
لدينا النظام التالي:
- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="4x + 5y - 6z = -14" data-tex="4x + 5y - 6z = -14" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.42ex" height="1.995ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 8583.4 882" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1294.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2294.4,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2794.4,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3506.7,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4506.9,0)"><use data-c="36" xlink:href="#MJXG-TEX-N-36"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5006.9,0)"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5749.7,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6805.4,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7583.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="3x - 2y + 7z = 47" data-tex="3x - 2y + 7z = 47" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.659ex" height="1.995ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 7805.4 882" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1294.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2294.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2794.4,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3506.7,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4506.9,0)"><use data-c="37" xlink:href="#MJXG-TEX-N-37"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5006.9,0)"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5749.7,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6805.4,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use><use data-c="37" xlink:href="#MJXG-TEX-N-37" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="7x - 6y - 8z = 15" data-tex="7x - 6y - 8z = 15" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.659ex" height="1.993ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -676 7805.4 881" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="37" xlink:href="#MJXG-TEX-N-37"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1294.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2294.4,0)"><use data-c="36" xlink:href="#MJXG-TEX-N-36"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2794.4,0)"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3506.7,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4506.9,0)"><use data-c="38" xlink:href="#MJXG-TEX-N-38"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5006.9,0)"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5749.7,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6805.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35" transform="translate(500,0)"></use></g></g></g></svg></span>
نلاحظ أن لدينا **ثلاث معادلات وثلاثة متغيرات**، لذلك يمكن استخدام قاعدة كرامر.
الخطوة الأولى: حساب محددة مصفوفة المعاملات
نكوّن مصفوفة المعاملات من معاملات المتغيرات فقط، ثم نحسب محددتها باستخدام طريقة حساب محددة المصفوفة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="3 \times 3" data-tex="3 \times 3" style="display:inline-block;vertical-align: -0.05ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.028ex" height="1.554ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2222.4 687" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(722.2,0)"><use data-c="D7" xlink:href="#MJXG-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1722.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></span>.
في هذا المثال تكون قيمة محددة المعاملات:
**621**
الخطوة الثانية: إيجاد قيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>
لحساب <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>:
- نستبدل **عمود <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>** في مصفوفة المعاملات بعمود الثوابت الموجود بعد علامة المساواة. - نحسب محددة المصفوفة الجديدة. - ثم نقسمها على محددة المعاملات.
في هذا المثال:
- محددة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x = 3105" data-tex="x = 3105" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.836ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 3905.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30" transform="translate(1000,0)"></use><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35" transform="translate(1500,0)"></use></g></g></g></svg></span>
إذن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x = \frac{3105}{621} = 5" data-tex="x = \frac{3105}{621} = 5" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.602ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.98ex" height="4.638ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 6179.1 2050" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1905.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30" transform="translate(1000,0)"></use><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35" transform="translate(1500,0)"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(470,-686)"><use data-c="36" xlink:href="#MJXG-TEX-N-36"></use><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31" transform="translate(1000,0)"></use></g><rect width="2200" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4623.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5679.1,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g></g></g></svg></div>
الخطوة الثالثة: إيجاد قيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y" data-tex="y" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></span>
لحساب <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y" data-tex="y" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></span>:
- نستبدل **عمود <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y" data-tex="y" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></span>** بعمود الثوابت. - نحسب المحددة الجديدة. - نقسم الناتج على محددة المعاملات.
في هذا المثال:
- محددة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y = -1242" data-tex="y = -1242" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.411ex" height="1.995ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 4601.6 882" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2601.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34" transform="translate(1000,0)"></use><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32" transform="translate(1500,0)"></use></g></g></g></svg></span>
إذن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y = \frac{-1242}{621} = -2" data-tex="y = \frac{-1242}{621} = -2" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.602ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.315ex" height="4.663ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1353 7653.1 2061" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1823.6,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,676)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34" transform="translate(1000,0)"></use><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32" transform="translate(1500,0)"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(859,-686)"><use data-c="36" xlink:href="#MJXG-TEX-N-36"></use><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31" transform="translate(1000,0)"></use></g><rect width="2978" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5319.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6375.1,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7153.1,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></div>
الخطوة الرابعة: إيجاد قيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="z" data-tex="z" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.052ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 465 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></svg></span>
لحساب <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="z" data-tex="z" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.052ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 465 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></svg></span>:
- نستبدل **عمود <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="z" data-tex="z" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.052ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 465 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></svg></span>** بعمود الثوابت. - نحسب المحددة الجديدة. - نقسم الناتج على محددة المعاملات.
في هذا المثال:
- محددة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="z = 2484" data-tex="z = 2484" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.594ex" height="1.717ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 3798.6 759" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(742.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1798.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="38" xlink:href="#MJXG-TEX-N-38" transform="translate(1000,0)"></use><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34" transform="translate(1500,0)"></use></g></g></g></svg></span>
إذن:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="z = \frac{2484}{621} = 4" data-tex="z = \frac{2484}{621} = 4" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -1.602ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.738ex" height="4.663ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1353 6072.1 2061" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(742.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1798.6,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,676)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="38" xlink:href="#MJXG-TEX-N-38" transform="translate(1000,0)"></use><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34" transform="translate(1500,0)"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(470,-686)"><use data-c="36" xlink:href="#MJXG-TEX-N-36"></use><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32" transform="translate(500,0)"></use><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31" transform="translate(1000,0)"></use></g><rect width="2200" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4516.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5572.1,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></div>
الخلاصة
تعتمد قاعدة كرامر على أربع خطوات رئيسية:
1. التأكد من أن عدد المعادلات يساوي عدد المتغيرات. 2. حساب محددة مصفوفة المعاملات. 3. استبدال عمود كل متغير بعمود الثوابت وحساب المحددة الجديدة. 4. قسمة كل محددة على محددة المعاملات للحصول على قيمة المتغير المقابل.
وفي المثال السابق كانت النتائج:
- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x = 5" data-tex="x = 5" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y = -2" data-tex="y = -2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.017ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 3101.6 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2601.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="z = 4" data-tex="z = 4" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.2ex" height="1.717ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 2298.6 759" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(742.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1798.6,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></span>
عن هذا الدرس
في هذا الدرس سنتعرف على قاعدة كرامر، وهي طريقة لحل نظام من المعادلات الخطية، بشرط أن يكون عدد المعادلات مساويًا لعدد المتغيرات. وعند تكوين مصفوفة… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.