نظريتا الباقي والعوامل

١ نظرية الباقي

إذا قُسِمت كثيرة الحدود P(x) على (r − x)، فإن الباقي يساوي P(r).

P(x) = Q(x) \cdot (x - r) + P(r)

حيث Q(x) هي ناتج القسمة ودرجتها أقل من درجة P(x) بواحد

مثال:

x^2 + 6x + 2 = (x-4)(x+10) + 42

٢ نظرية العوامل

تكون ثنائية الحد (x − r) عاملاً من عوامل كثيرة الحدود P(x) إذا وفقط إذا كان P(r) = 0.

P(r) = 0 \iff (x - r) \mid P(x)

أي أن (x − r) عامل لـ P(x)

٣ التعويض التركيبي — حاسبة تفاعلية

اكتب معاملات كثيرة الحدود (من الأعلى درجةً إلى الأدنى) وقيمة r، ثم اضغط "احسب".

قيمة r

٤ مثال 1 — إيجاد f(4) بالتعويض التركيبي

الدالة

f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x + 2

المطلوب إيجاد f(4)

لاحظ أنه لا يوجد حد يحتوي على x² لذا نضع معاملاً صفرياً للحفاظ على مكانه.

4	3	−2	0	5	2
		12	40	160	660
	3	10	40	165	662

f(4) = 662

الباقي = f(4) = 662

تحقق مباشر:

f(4) = 3(4)^4 - 2(4)^3 + 5(4) + 2

= 768 - 128 + 20 + 2 = 662 \checkmark

٥ مثال 3 — استعمال نظرية العوامل

كثيرة الحدود

P(x) = x^3 - 7x^2 + 7x + 15

السؤال هل (x − 5) عامل؟ ثم أوجد باقي العوامل.

الخطوة 1: طبّق نظرية العوامل — إذا كان P(5) = 0 فإن (x − 5) عامل.

5	1	−7	7	15
		5	−10	−15
	1	−2	−3	0

P(5) = 0

إذن (x − 5) عامل لكثيرة الحدود ✓

الخطوة 2: ناتج القسمة هو x² − 2x − 3، وهذا يُحلَّل إلى:

x^2 - 2x - 3 = (x+1)(x-3)

الخطوة 3: التحليل التام لكثيرة الحدود:

x^3 - 7x^2 + 7x + 15 = (x-5)(x+1)(x-3)

العامل	قيمة x	التحقق P(x)
(x − 5)	x = 5	P(5) = 0 ✓
(x + 1)	x = −1	P(−1) = 0 ✓
(x − 3)	x = 3	P(3) = 0 ✓

٦ رسم كثيرة الحدود وجذورها

الجذور: لا جذور حقيقية ظاهرة في النطاق

نطاق x −6 إلى 8

٧ ملخص النظريتين

— نظرية الباقي: الباقي من قسمة P(x) على (x − r) يساوي P(r).
— نظرية العوامل: (x − r) عامل لـ P(x) إذا وفقط إذا كان P(r) = 0.
— التعويض التركيبي طريقة سريعة لحساب P(r) دون قسمة طويلة.
— جذور كثيرة الحدود هي قيم x التي تجعل P(x) = 0.

نظريتا الباقي والعوامل

الشرح

نظريتا الباقي والعوامل