الدوال الرئيسة (الأم)

الدوال الرئيسية

في هذا الدرس سنتعرف على **الدوال الرئيسية**، وهي أكثر الدوال استخدامًا في الرياضيات والهندسة والفيزياء، لأنها تمثل كثيرًا من الظواهر الطبيعية والتطبيقات العملية.

سندرس في هذا الدرس خمس دوال أساسية، وهي:

- الدالة الثابتة. - الدالة المحايدة. - الدالة التربيعية. - الدالة التكعيبية. - دالة الجذر التربيعي.

الدالة الثابتة

تعرف الدالة الثابتة بالعلاقة:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(x)=c" data-tex="f(x)=c" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.295ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3666.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3233.6,0)"><use data-c="1D450" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D450"></use></g></g></g></svg></div>

حيث إن <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="c" data-tex="c" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D450" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D450"></use></g></g></g></svg></span> عدد ثابت، ويمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا.

في هذه الدالة تبقى قيمة المخرجات ثابتة مهما تغيرت قيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>، ولذلك يكون الرسم البياني خطًا أفقيًا.

ومن الأمثلة عليها أن يكون ارتفاع مبنى ثابتًا مع مرور الزمن، فلا تتغير القيمة مهما تغير المتغير المستقل.

خصائص الدالة الثابتة

الدالة الثابتة:

- متصلة على جميع الأعداد الحقيقية. - قيمة الدالة ثابتة دائمًا. - دالة زوجية لأنها تحقق:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(-x)=f(x)" data-tex="f(-x)=f(x)" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.375ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5911.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(939,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1717,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2289,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2955.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4011.6,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4561.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4950.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5522.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></div>

الدالة المحايدة

تعرف الدالة المحايدة بالعلاقة:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(x)=x" data-tex="f(x)=x" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.61ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3805.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3233.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></div>

وفيها تكون قيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y" data-tex="y" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></span> مساوية تمامًا لقيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>.

فعندما تكون:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x=1" data-tex="x=1" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></div>

فإن:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=1" data-tex="y=1" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.257ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2323.6 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></div>

وعندما تكون:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x=-5" data-tex="x=-5" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.203ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 3183.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2683.6,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g></g></g></svg></div>

فإن:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="y=-5" data-tex="y=-5" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.017ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 3101.6 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2601.6,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJXG-TEX-N-35"></use></g></g></g></svg></div>

ولهذا يكون الرسم البياني خطًا مستقيمًا يمر بنقطة الأصل ويميل بزاوية 45 درجة.

خصائص الدالة المحايدة

الدالة المحايدة:

- متصلة على جميع الأعداد الحقيقية. - دالة فردية لأنها تحقق:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(-x)=-f(x)" data-tex="f(-x)=-f(x)" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.135ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6689.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(939,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1717,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2289,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2955.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4011.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4789.6,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5339.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5728.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6300.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></div>

كما أن منحناها متماثل حول نقطة الأصل.

الدالة التربيعية

تعرف الدالة التربيعية بالعلاقة:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(x)=x^2" data-tex="f(x)=x^2" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.598ex" height="2.565ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 4242.1 1133.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3233.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,413) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></svg></div>

وفي هذه الدالة يؤدي التربيع إلى إزالة الإشارة السالبة، لذلك تعطي القيم الموجبة والسالبة النتيجة نفسها.

فعلى سبيل المثال:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="2^2=(-2)^2=4" data-tex="2^2=(-2)^2=4" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.924ex" height="2.565ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 6596.2 1133.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(533,413) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1214.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2270.1,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2659.1,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3437.1,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3937.1,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(422,413) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5040.4,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6096.2,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></div>

ولهذا يكون منحنى الدالة على شكل **قطع مكافئ** مفتوح إلى الأعلى.

خصائص الدالة التربيعية

الدالة التربيعية:

- متصلة على جميع الأعداد الحقيقية. - دالة زوجية لأنها تحقق:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(-x)=f(x)" data-tex="f(-x)=f(x)" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.375ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5911.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(939,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1717,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2289,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2955.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4011.6,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4561.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4950.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5522.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></div>

كما أن منحناها متماثل حول محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y" data-tex="y" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></span>.

الدالة التكعيبية

تعرف الدالة التكعيبية بالعلاقة:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(x)=x^3" data-tex="f(x)=x^3" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.598ex" height="2.564ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.2 4242.1 1133.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3233.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,413) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></svg></div>

وعلى عكس الدالة التربيعية، فإن التكعيب لا يزيل الإشارة السالبة.

فعلى سبيل المثال:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="(-2)^3=-8" data-tex="(-2)^3=-8" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.548ex" height="2.564ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.2 5104.1 1133.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(389,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1167,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1667,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(422,413) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2770.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3826.1,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4604.1,0)"><use data-c="38" xlink:href="#MJXG-TEX-N-38"></use></g></g></g></svg></div>

بينما:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="2^3=8" data-tex="2^3=8" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.267ex" height="2.184ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.2 2770.1 965.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(533,413) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1214.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2270.1,0)"><use data-c="38" xlink:href="#MJXG-TEX-N-38"></use></g></g></g></svg></div>

ولهذا يكون منحنى الدالة ممتدًا في الاتجاهين الموجب والسالب، ويزداد بسرعة أكبر من الدالة التربيعية.

خصائص الدالة التكعيبية

الدالة التكعيبية:

- متصلة على جميع الأعداد الحقيقية. - دالة فردية لأنها تحقق:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(-x)=-f(x)" data-tex="f(-x)=-f(x)" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.135ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6689.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(939,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1717,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2289,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2955.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4011.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4789.6,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5339.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5728.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6300.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></div>

كما أن منحناها متماثل حول نقطة الأصل.

دالة الجذر التربيعي

تعرف دالة الجذر التربيعي بالعلاقة:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="f(x)=\sqrt{x}" data-tex="f(x)=\sqrt{x}" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.54ex" height="2.581ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -890.8 4658.6 1140.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(3233.6,0)"><g transform="translate(853,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,30.8)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJXG-TEX-N-221A"></use></g><rect width="572" height="60" x="853" y="770.8"></rect></g></g></g></svg></div>

ويشترط أن يكون:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x\ge0" data-tex="x\ge0" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.312ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.819ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 804" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></div>

لأن الجذر التربيعي للأعداد السالبة ليس عددًا حقيقيًا.

شكل دالة الجذر التربيعي

يبدأ منحنى الدالة من نقطة الأصل، ثم يرتفع تدريجيًا كلما زادت قيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>.

ويكون المنحنى متزايدًا، لكن معدل الزيادة يقل تدريجيًا مع ازدياد قيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>.

خصائص دالة الجذر التربيعي

دالة الجذر التربيعي:

- معرفة عندما:

<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x\ge0" data-tex="x\ge0" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.312ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.819ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 804" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></div>

- متصلة على مجالها. - غير معرفة للأعداد السالبة ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية.

مقارنة بين الدوال الرئيسية

يمكن التمييز بين الدوال الرئيسية من خلال خصائصها الأساسية:

- الدالة الثابتة تعطي قيمة ثابتة مهما تغيرت قيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>. - الدالة المحايدة تجعل قيمة المخرجات مساوية لقيمة المدخلات. - الدالة التربيعية تنتج منحنى على شكل قطع مكافئ وهي دالة زوجية. - الدالة التكعيبية تعطي منحنى متماثلًا حول نقطة الأصل وهي دالة فردية. - دالة الجذر التربيعي تبدأ من الصفر ولا تُعرَّف إلا عندما تكون قيمة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> أكبر من أو تساوي الصفر.

ملخص الدرس

- الدوال الرئيسية هي أكثر الدوال استخدامًا في الرياضيات والهندسة والفيزياء. - الدالة الثابتة قيمتها لا تتغير مهما تغيرت قيمة المتغير المستقل. - الدالة المحايدة تحقق العلاقة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="f(x)=x" data-tex="f(x)=x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.61ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3805.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3233.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> وهي دالة فردية. - الدالة التربيعية تحقق العلاقة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="f(x)=x^2" data-tex="f(x)=x^2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.598ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 4242.1 1083.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3233.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,363) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></svg></span> وهي دالة زوجية. - الدالة التكعيبية تحقق العلاقة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="f(x)=x^3" data-tex="f(x)=x^3" style="display:inline-block;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.598ex" height="2.451ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.2 4242.1 1083.2" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3233.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,363) scale(0.707)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></svg></span> وهي دالة فردية. - دالة الجذر التربيعي تعرف فقط عندما يكون <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x\ge0" data-tex="x\ge0" style="display:inline-block;vertical-align: -0.312ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.819ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 804" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="2265" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2265"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></span>، وتبدأ من نقطة الأصل وتزداد تدريجيًا.