الدوال المثلثية والزوايا المرجعية

الشرح

الزوايا المرجعية والدوال المثلثية

الزاوية المرجعية
الزاوية الحادة مع محور x
القيمة المطلقة
= قيمة الزاوية المرجعية
الإشارة
تُحدَّد بحسب الربع
١ محدودية المثلث القائم
المثلث القائمالزوايا محصورة بين 0° و 90° فقط
الواقعcos 120°, sin 300°, cos 100000° — كلها محسوبة
الحلتوسيع التعريف عبر دائرة الوحدة
— نضع المثلث في اتجاهات مختلفة داخل دائرة الوحدة حسب موقع الزاوية — نستخدم إحداثيات النقطة لتحديد القيمة والإشارة.
٢ تعريف الزاوية المرجعية
الربع الأول
\alpha = \theta
الربع الثاني
\alpha = 180° - \theta
الربع الثالث
\alpha = \theta - 180°
الربع الرابع
\alpha = 360° - \theta
— الزاوية المرجعية دائماً موجبة وتتراوح بين 0° و 90°.
٣ استكشف الزوايا المرجعية تفاعلياً

حرّك المنزلق لأي زاوية وشاهد مثلثها المرجعي وإشارات دوالها:

الربع الأول | الزاوية المرجعية = 60° | sin 60° = +0.866 | cos 60° = +0.500
60°
٤ خطوات الحساب
الخطوة ١حدّد الربع الذي تقع فيه الزاوية
الخطوة ٢احسب الزاوية المرجعية بالصيغة المناسبة
الخطوة ٣احسب قيمة الدالة للزاوية المرجعية
الخطوة ٤ضع الإشارة الصحيحة حسب الربع

مثال ١ — احسب sin(150°):

الربع150° → الربع الثاني
المرجعية180° − 150° = 30°
الإشارةsin موجب في الربع الثاني
النتيجة
\sin 150° = +\sin 30° = +0.5

sin(150°) = 0.5

مثال ٢ — احسب cos(240°):

الربع240° → الربع الثالث
المرجعية240° − 180° = 60°
الإشارةcos سالب في الربع الثالث
النتيجة
\cos 240° = -\cos 60° = -0.5

cos(240°) = −0.5

مثال ٣ — احسب sin(300°):

الربع300° → الربع الرابع
المرجعية360° − 300° = 60°
الإشارةsin سالب في الربع الرابع
النتيجة
\sin 300° = -\sin 60° = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}

sin(300°) = −√3/2 ≈ −0.866

٥ قاعدة الإشارات في الأرباع
الربع الأول
α = θ
sin+   cos+
الربع الثاني
α = 180°−θ
sin+   cos−
الربع الثالث
α = θ−180°
sin−   cos−
الربع الرابع
α = 360°−θ
sin−   cos+
— تذكّر: sin θ = y وcos θ = x على دائرة الوحدة.
— إشارة كل دالة = إشارة إحداثيها في ذلك الربع.
∑ ملخص الزوايا المرجعية
الربعالنطاقالزاوية المرجعية αsincos
الأول 0°–90° θ + +
الثاني 90°–180° 180°−θ + −
الثالث 180°–270° θ−180° − −
الرابع 270°–360° 360°−θ − +
✓ الخلاصة
— الزاوية المرجعية: الزاوية الحادة بين الضلع النهائي ومحور x — دائماً بين 0° و 90°.
— القيمة المطلقة: تساوي قيمة الدالة للزاوية المرجعية بغض النظر عن الربع.
— الإشارة: تُحدَّد بإحداثيات النقطة على دائرة الوحدة (sin=y, cos=x).
— زوايا متكافئة: 60°، 120°، 240°، 300° — مرجعها 60°، نفس القيمة المطلقة.
الدرس السابق
0
الدرس التالي
ثاني ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...