العلاقات والدوال العكسية

الدوال العكسية

الدالة العكسية
تعكس مفعول الأصلية
شرط الوجود
اختبار الخط الأفقي
التماثل البياني
انعكاس حول y = x
١ مراجعة — ما هي الدالة؟
الدالة لكل قيمة x قيمة واحدة فقط من y
الخط الرأسي يحدد: هل هي دالة؟
الخط الأفقي يحدد: هل لها عكسية؟
— الخط الرأسي للدوال — الخط الأفقي للدوال العكسية — فرق جوهري.
٢ مفهوم الدالة العكسية
التعريف تعكس مفعول الدالة الأصلية وتُرجعك إلى نقطة البداية
الرمز f⁻¹(x)
مثال — تربيع
مثال — ضرب
— الـ −1 في f⁻¹ ليست أساً — بل رمز يدل على الدالة العكسية.
٣ مثال ١ — اختبار العكس
الدالة f(x) = 2x
العكسية f⁻¹(x) = x/2
نُدخل 4
نُدخل 8 في العكسية

رجعنا إلى الرقم الأصلي 4 ✓

٤ العلاقة البيانية — التماثل حول y = x

منحنى f⁻¹ هو انعكاس منحنى f حول الخط y = x — اسحب المنزلق لاستكشاف f(x) = ax:

2
f(x) = ax f⁻¹(x) = x/a y = x

النقطة (a, b) على f تقابلها النقطة (b, a) على f⁻¹

٥ اختبار الخط الأفقي
الشرط الدالة يجب أن تجتاز اختبار الخط الأفقي
المعنى One-to-One — كل x يعطي y مختلفاً

اختر دالة وحرّك الخط الأفقي — الخط الأخضر يجتاز، البرتقالي لا يجتاز:

1
٦ مثال واقعي — تحويل العملات
الأصلية تحوّل ريالاً إلى دولار
العكسية تحوّل دولاراً إلى ريال
f تجيب كم دولاراً في 100 ريال؟
f⁻¹ تجيب كم ريالاً في دولار واحد؟

f⁻¹(f(100)) = f⁻¹(26.67) = 100 ريال ✓

٧ أمثلة على اختبار الخط الأفقي
y = 5 (ثابتة) رأسي ✓ — أفقي ✗ — لا عكسية
y = 2x (خطية) رأسي ✓ — أفقي ✓ — لها عكسية
y = x² (تربيعية) رأسي ✓ — أفقي ✗ — لا عكسية
y = x³ (تكعيبية) رأسي ✓ — أفقي ✓ — لها عكسية
— يمكن إيجاد عكسية للجزء الموجب فقط من y = x²: نأخذ x ≥ 0.
∑ جدول ملخص
الدالة اختبار رأسي اختبار أفقي عكسية؟
y = 2x✓✓نعم
y = x³✓✓نعم
y = x²✓✗لا
y = |x|✓✗لا
y = 5✓✗لا
✓ الخلاصة
— الدالة العكسية: تعكس مفعول الدالة الأصلية — f⁻¹(f(x)) = x.
— شرط الوجود: يجب أن تجتاز الدالة اختبار الخط الأفقي (One-to-One).
— التماثل البياني: منحنى f⁻¹ هو انعكاس منحنى f حول الخط y = x.
— الفرق الجوهري: الخط الرأسي للدوال — الخط الأفقي للدوال العكسية.
0
ثالث ثانويالفصل الأول
جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

مفهوم الدالة العكسية في هذا الدرس سنتعرف على مفهوم الدالة العكسية، ونفهم فكرتها، والعلاقة بينها وبين الدالة الأصلية، ثم نتعرف على الشروط اللازمة لوجود… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

خطوات إيجاد الدالة العكسية مع أمثلة

الثانوية

دالة المقلوب والدالة العكسية

الثانوية

الجذر النوني

الثانوية

البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضيّ

الثانوية

نظرية ذات الحدين

الثانوية