خطوات إيجاد الدالة العكسية مع أمثلة

إيجاد الدالة العكسية

بعد أن تعرفنا في الدرس السابق على مفهوم الدالة العكسية، سنتعلم الآن كيفية إيجاد الدالة العكسية خطوة بخطوة.

ولإيجاد الدالة العكسية نمر بأربع خطوات رئيسية.

الخطوة الأولى: التأكد من وجود دالة عكسية

قبل البدء بالحسابات، يجب التأكد أن الدالة تجتاز اختبار الخط الأفقي.

أي أن تكون العلاقة واحد لواحد (One-to-One)، بحيث يقابل كل قيمة في المدى قيمة واحدة فقط في المجال.

إذا لم تحقق الدالة هذا الشرط، فلا تمتلك دالة عكسية على مجالها بالكامل.

الخطوة الثانية: استبدال المتغيرات

نبدأ باستبدال f(x) = y، ثم نقوم بتبديل المتغيرين: كل x تصبح y، وكل y تصبح x.

الخطوة الثالثة: الحل بالنسبة لـ y

بعد تبديل المتغيرات، نقوم بحل المعادلة لإيجاد y.

ثم نستبدل y بالرمز f⁻¹(x)، وهو رمز الدالة العكسية.

ملاحظة مهمة: الرمز ⁻¹ لا يمثل أسًا سالبًا، وإنما هو رمز يدل على الدالة العكسية.

الخطوة الرابعة: فحص المجال والمدى

بعد الحصول على الدالة العكسية، يجب التأكد من مجالها ومداها.

وتوجد قاعدة مهمة وهي: مجال الدالة العكسية = مدى الدالة الأصلية، ومدى الدالة العكسية = مجال الدالة الأصلية.

المثال الأول

لدينا الدالة f(x) = x + 5.

التحقق من اختبار الخط الأفقي: الدالة الخطية تجتاز اختبار الخط الأفقي لأنها تحقق العلاقة واحد لواحد.

تبديل المتغيرات: نكتب y = x + 5، ثم نبدل x مع y: x = y + 5.

الحل بالنسبة لـ y: ننقل العدد 5 للطرف الآخر: y = x − 5، إذن f⁻¹(x) = x − 5.

المجال والمدى: مجال الدالة العكسية (−∞, ∞)، ومداها أيضًا (−∞, ∞).

المثال الثاني

لدينا f(x) = 2x.

اختبار الخط الأفقي: الدالة تجتاز الاختبار لأنها خطية ومتزايدة.

تبديل المتغيرات: نكتب y = 2x، ثم x = 2y.

الحل بالنسبة لـ y: بقسمة الطرفين على 2: y = x/2، إذن f⁻¹(x) = x/2.

ومجالها ومداها كلاهما جميع الأعداد الحقيقية.

المثال الثالث

لدينا الدالة f(x) = (x + 7)/x.

المجال والمدى: بما أن المقام لا يجوز أن يساوي صفرًا، فإن x ≠ 0، إذن مجال الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر. أما مدى الدالة فهو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا العدد 1.

التحقق من اختبار الخط الأفقي

الدالة تحقق اختبار الخط الأفقي، لذلك يمكن إيجاد دالتها العكسية.

تبديل المتغيرات

نكتب y = (x + 7)/x، ثم نبدل بين x وy: x = (y + 7)/y.

الحل بالنسبة لـ y

نبسط المعادلة: x = 1 + 7/y.

ننقل الواحد للطرف الآخر: x − 1 = 7/y.

نضرب الطرفين في y: y(x − 1) = 7، ثم نقسم على (x − 1) فنحصل على y = 7/(x − 1).

إذن f⁻¹(x) = 7/(x − 1).

مجال ومدى الدالة العكسية

بما أن المقام لا يجوز أن يساوي صفرًا، فإن x ≠ 1، إذن مجال الدالة العكسية هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا العدد 1.

أما مدى الدالة العكسية فهو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر.

ونلاحظ أن مجال الدالة العكسية يساوي مدى الدالة الأصلية، ومدى الدالة العكسية يساوي مجال الدالة الأصلية.

العلاقة البيانية بين الدالة ودالتها العكسية

عند رسم الدالة الأصلية والدالة العكسية على المستوى الإحداثي، نجد أن المنحنيين متناظران حول المستقيم y = x.

وهذه خاصية عامة تنطبق على جميع الدوال القابلة للعكس.

ملخص الدرس

لإيجاد الدالة العكسية نتبع أربع خطوات: التأكد من أن الدالة تجتاز اختبار الخط الأفقي، استبدال f(x) بـ y، تبديل x وy، ثم حل المعادلة بالنسبة لـ y وكتابة الناتج على صورة f⁻¹(x).

الرمز f⁻¹(x) يمثل الدالة العكسية وليس مقلوب الدالة.

مجال الدالة العكسية يساوي مدى الدالة الأصلية، ومدى الدالة العكسية يساوي مجال الدالة الأصلية.

تمثل الدالة العكسية انعكاس الدالة الأصلية حول المستقيم y = x.