ضرب العبارات النسبية وقسمتها

١ المفاهيم الأساسية

العبارة النسبية هي نسبة بين كثيرَي حدود — مثل الكسر تمامًا لكن بمتغيرات بدل الأعداد.

ضرب العبارات النسبية

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

حيث b ≠ 0 و d ≠ 0

قسمة العبارات النسبية

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

حيث b ≠ 0 و c ≠ 0 و d ≠ 0

تبسيط أولًا

حلّل البسط والمقام إلى عوامل ثم اختصر

القسمة = ضرب بالمقلوب

اقلب الكسر الثاني ثم اضرب

٢ مثال ١ — تبسيط عبارة نسبية

بسّط العبارة

\frac{5x(x^2+4x+3)}{(x-6)(x^2-9)}

حلّل البسط والمقام

\frac{5x(x^2+4x+3)}{(x-6)(x^2-9)}

= \frac{5x(x+3)(x+1)}{(x-6)(x+3)(x-3)}

اختصر العوامل المشتركة

= \frac{5x(x+1)}{(x-6)(x-3)} \cdot \frac{(x+3)}{(x+3)}

بسّط

= \frac{5x(x+1)}{(x-6)(x-3)}

\frac{5x(x+1)}{(x-6)(x-3)}

الصورة المبسّطة النهائية

٣ مثال ٢ — القيم التي تجعل العبارة غير معرّفة

العبارة

\frac{x^2(x^2-5x-14)}{4x(x^2+6x+8)}

السؤال ما قيم x التي تجعل العبارة غير معرّفة؟

العبارة غير معرّفة عندما يساوي المقام صفرًا.

حلّل المقام

4x(x^2+6x+8) = 4x(x+2)(x+4)

المقام = صفر عند

x = 0 \quad \text{or} \quad x = -2 \quad \text{or} \quad x = -4

x = 0,\; -2,\; -4

الإجابة الصحيحة: C

٤ مثال ٤ — ضرب وقسمة عبارات نسبية

أ — ضرب

العبارة

\frac{6c}{5d} \cdot \frac{15cd^2}{8a}

حلّل إلى عوامل

= \frac{2 \cdot 3 \cdot c \cdot 5 \cdot 3 \cdot c \cdot d \cdot d}{5 \cdot d \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot a}

اختصر واجمع

= \frac{9c^2 d}{4a}

\frac{9c^2d}{4a}

الناتج المبسّط

ب — قسمة

العبارة

\frac{18xy^3}{7a^2b^2} \div \frac{12x^2y}{35a^2b}

اضرب بالمقلوب

= \frac{18xy^3}{7a^2b^2} \cdot \frac{35a^2b}{12x^2y}

بسّط واستخدم الأسس

= \frac{15}{2} \cdot x^{-1} \cdot y^2 \cdot a^0 \cdot b^{-1}

تعريف الأسس السالبة

= \frac{15y^2}{2xb}

\frac{15y^2}{2xb}

الناتج المبسّط

٥ أداة تفاعلية — خطوات تبسيط كسر متعدد الحدود

اختر مثالًا لترى خطوات التبسيط مرسومة بيانيًا على المحور.

اسحب المنزلق لاستكشاف القيم

قيمة x 2.0

الصورة المبسّطة

\dfrac{x-2}{x-1}

القيم غير المعرّفة (يُلغى المقام)

x = −2 (ثقب) | x = 1 (مقارب)

٦ جدول المراجعة

الشرح