أنواع ميل المستقيم: الميل الموجب والسالب والصفر وغير المعرّف بأمثلة محلولة على معدل التغير

الحالات الأربع لميل المستقيم

بالنسبة لميل المستقيمات، عندنا أربع حالات: إما أن يطلع الميل موجباً، أو يطلع الميل سالباً، أو يطلع الميل صفراً، أو يكون غير معرّف.

وشفنا في الدرس السابق كيف نطلع ميل المستقيم: لازم نلاقي نقطتين على المستقيم، بعدين نطلع فرق الصادات على فرق السينات. ودائماً إحداثيات النقطة التي على اليمين تكون (س٢ ، ص٢)، وإحداثيات النقطة التي على اليسار تكون (س١ ، ص١). ومعدل التغير هو نفس الميل: يساوي فرق الصادات على فرق السينات، أي (ص٢ − ص١) ÷ (س٢ − س١).

عشان نفهم الحالات الأربع للمستقيم، لما يكون الميل موجباً أو سالباً أو صفراً أو أحياناً غير معرّف، خلونا نفرض أن المحور السيني كأنه الوقت، والمحور الصادي كأنه السعر.

الحالة الأولى: الميل صفر

عندنا قلم سعره في البداية ١٠ ريالات، وبعد أربع سنوات لقينا سعره ١٠ ريالات، ما تغير.

الآن كيف نطلع الإحداثيات بالنسبة لنقطة البداية؟ نفرض أن نقطة البداية لما تكون س تساوي ٠، فالإحداثي السيني لها س١ يساوي ٠، والإحداثي الصادي لها هو السعر، يساوي ١٠. يعني س١ = ٠ و ص١ = ١٠.

بعدين عندنا السنة الأولى، الثانية، الثالثة، وهنا السنة الرابعة: لقينا سعره أيضاً ما تغير، ١٠. فهنا عندنا س٢ = ٤ و ص٢ = ١٠.

الآن قبل ما نحسب، نعرف أن سعره ما تغير، معناها أن المستقيم سيكون ثابتاً، أو معدل التغير يساوي صفراً لأنه لا يوجد أي تغير. لكن نطبق القاعدة: ص٢ − ص١ = ١٠ − ١٠ = ٠، نقسم على س٢ − س١ = ٤ − ٠ = ٤. إذا كان البسط يساوي صفراً فالناتج يساوي صفراً، فهذا يعني أن معدل التغير يساوي صفراً. ولو وصلنا بين النقطتين يطلع معنا خط مستقيم أفقي، لا يوجد فيه أي ميل.

الحالة الثانية: الميل موجب

الآن دعونا نفرض أن سعر هذا القلم ارتفع بعد أربع سنوات وصار مثلاً ١٤ ريالاً. نقوم بنفس الطريقة: في البداية س١ = ٠ و ص١ = ١٠. والآن س٢ نفسها ٤، لكن ص٢ ليست ١٠، صارت ١٤.

فلما نطبق فرق الصادات على فرق السينات يطلع ١٤ − ١٠ تقسيم ٤ − ٠، أي ٤ تقسيم ٤ يساوي ١. معدل التغير يساوي ١، معناه أن السعر يزيد في كل سنة ريالاً واحداً فقط. ولما نوصل بين هاتين النقطتين راح نلاقي مستقيماً ميله موجب يساوي ١.

الحالة الثالثة: الميل سالب

طيب، نبغى نشوف الحالة الثالثة لما يكون الميل سالباً. في مثالنا هذا كأن القلم نزل سعره، انخفض: خلونا نفرض أنه نزل مثلاً من ١٠ إلى ريالين، وطبعاً خلال نفس الفترة التي هي أربع سنوات.

نقطة البداية زي ما هي: س١ = ٠ و ص١ = ١٠. نقطة النهاية التي على اليمين (س٢ ، ص٢): س٢ = ٤، والآن ص٢ هي السعر الجديد الذي هو ٢.

لما نطلع معدل التغير، فرق الصادات على فرق السينات، راح يطلع معنا ص٢ الذي هو ٢ ناقص ص١ الذي هو ١٠، نقسمها على س٢ = ٤ ناقص س١ = ٠. تطلع معنا −٨ على ٤، أي −٢. معناها أن السعر ينقص في كل سنة ريالين. فلما نوصل ما بين النقطتين راح يطلع معنا مستقيم ميله −٢، ونشوف أن فيه نزولاً مستمراً كلما رحنا إلى اليمين.

الحالة الرابعة: الميل غير معرّف

باقي عندنا الحالة الأخيرة لما يكون الميل غير معرّف. يكون الميل غير معرّف لما يكون الخط رأسياً. ففي مثالنا هذا، لما يكون الخط رأسياً كأن السعر ارتفع خلال صفر وقت، وهذا شيء غير منطقي.

يعني لو رجعنا إلى رسمتنا: النقطة الأولى (٠ ، ١٠)، ونخلي النقطة الثانية فوقها بالضبط (٠ ، ١٢). فالآن كأنه ارتفع ريالين، لكن لما نطبق قاعدتنا، فرق الصادات تقسيم فرق السينات، راح يطلع معنا ١٢ − ١٠، البسط مقبول، لكن المقام راح يكون ٠ − ٠. فإذا لقينا المقام يساوي صفراً، نقول عن هذا المستقيم إن ميله غير معرّف. فلما نشوف مستقيماً رأسياً نعرف أن ميله غير معرّف.

البسط صفر أم المقام صفر

ولو طبقنا قاعدة فرق الصادات على فرق السينات على خط رأسي راح يطلع معنا فرق السينات يساوي صفراً، يعني المقام راح يكون صفراً، معناها الميل غير معرّف. أما لو كان البسط يساوي صفراً فهذا مقبول: لما يكون فرق الصادات صفراً فهو مقبول، كأن السعر ما تغير. أما فرق السينات صفر فنقول: غير معرّف، أو خط رأسي.