اللوغاريتم والدالة اللوغاريتمية: معنى log والأساس والأس وعلاقتها بالدالة الأسية والتحويل بين الصورتين

عندما نرى log فلا بد أن نسأل دائمًا: ما الأساس؟ والأساس يُكتب هنا تحت.

معنى اللوغاريتم

log₂ 8 = 3، معناها: إذا كان الأساس 2، فما الأس الذي يجعل الناتج 8؟ الأس هو 3، لأن 2³ = 8.

لو قلنا log₃ 9 فالناتج يساوي 2، لأن الأساس الذي تحت مرفوعًا إلى الناتج يساوي 9: 3² = 9.

نفس الشيء لو قلنا log₄ 16 فيساوي 2.

لاحظ أننا دائمًا نبحث عن الأس: الناتج هو الأس، والأساس موجود معنا تحت. هذا هو أساس اللوغاريتم والدالة اللوغاريتمية.

عكس الدالة الأسية

الموضوع عكس الدالة الأسية: في الدالة الأسية يكون عندنا أساس ونعطيه أسًّا ونُخرج الناتج، فنحن نبحث عن الناتج، ولذلك تسارعها كبير جدًّا. أما في الدالة اللوغاريتمية فنحن نبحث عن الأس، وهذا هو السبب الذي يجعل تسارعها بطيئًا جدًّا مقارنة بالدالة الأسية.

ولو رسمنا الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية لنفس الأساس، مثلًا الأساس 2، فسنجدهما متناظرتين حول الخط y = x. معناها أن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية.

من الصورة الأسية إلى الصورة اللوغاريتمية

وحتى نتعود على كلمة log، دعونا نحوّل عبارة أسية إلى عبارة لوغاريتمية.

لو عندنا 15³ = 3375، كيف نحوّلها إلى لوغاريتمية؟ نقول log الناتج، أي log 3375، والأساس عندنا 15 نضعه تحت، يساوي 3: log₁₅ 3375 = 3.

نأخذ واحدة أبسط: 2³ = 8. نقول log₂ 8 = 3.

وأخيرًا 4³ = 64. نقول log₄ 64 = 3.