الخصائص الأساسية للوغاريتمات: القواعد الأربع لوغاريتم الواحد ولوغاريتم الأساس والأس بأمثلة محلولة

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

في هذا الدرس نتعلم الخصائص الأساسية للوغاريتمات.

الخاصية الأولى: لوغاريتم الواحد

أولًا: لوغاريتم العدد واحد يساوي صفرًا، لأي أساس: log_b 1 = 0.

لماذا؟ لأننا لو أخذنا الأساس، سواء كان 2 أو 3 أو 4 أو 5، ورفعناه للأس صفر، يطلع معنا واحد. فإذا رأينا لوغاريتم الواحد نقول على طول: صفر.

الخاصية الثانية: لوغاريتم الأساس نفسه

ثانيًا: لوغاريتم عدد والأساس هو نفس العدد يساوي واحدًا: log_b b = 1.

لو قلنا log_2 2، فإن 2 أس 1 يساوي 2. ولو قلنا log_3 3، نأخذ الأساس ونضع الناتج أسًّا له فيطلع نفس العدد: 3 أس 1 يساوي 3.

فإذا رأينا العددين متساويين فالناتج واحد: log_1000 1000 = 1.

الخاصية الثالثة: الأساس مرفوع لأس

نروح للخاصية الثالثة: لو العددان متساويان ولكن العدد الذي داخل اللوغاريتم له أس، فالناتج هو ذلك الأس: log_b b^n = n.

لو قلنا log_2 2^3، فالناتج يساوي 3، لأنه نفس الشيء: كأننا نأخذ الاثنين التي في الأساس ونسأل: ما الأس الذي يجعلها تساوي 2^3؟ الجواب 3.

مثال ثانٍ: log_5 5^2، الخمسة هنا أس 2، فالناتج هو 2. نأخذ الأس ونضعه في الناتج.

مراجعة القاعدتين

إذا رأينا العددين متساويين فالناتج واحد. وإذا رأيناهما متساويين والعدد له أس، فالناتج هو ذلك الأس.

الخاصية الرابعة: الأساس مرفوع للوغاريتم

بقيت معنا آخر قاعدة: إذا صار عندنا عدد، مثلًا 2، مرفوع للأس log_2 8، فالناتج هو العدد الذي داخل اللوغاريتم: 8.

لاحظ هنا أن اللوغاريتم موجود في الأس، وأساس اللوغاريتم هو نفس العدد الذي نرفعه للأس. فنقول: الأساسات متساوية، ونأخذ العدد الذي داخل اللوغاريتم ونقول هو الناتج: b^(log_b x) = x.

أمثلة على الخاصية الرابعة

لنأخذ 3 مرفوعًا للأس log_3 9. لو حسبنا ناتج الأس فقط: log_3 9 = 2، والأساس 3، و3 أس 2 يساوي 9. فطلعنا بنفس النتيجة: 9.

مثال ثانٍ: 4 مرفوع للأس log_4 16. الأساسات متساوية، فنأخذ العدد 16 ونقول هو الناتج. وبالطريقة المطولة: log_4 16 = 2، و4 أس 2 يساوي 16، نفس الشيء.

مثال أخير: 12 مرفوع للأس log_12 4.7. لو حسبناها بالطريقة المطولة ففيها كسور والموضوع طويل، لكن نستخدم الخاصية ونقول الناتج على طول: 4.7.