تحليل الدوائر مع مصادر التيار Current Sources: مثال Mesh Analysis بمصدر تيار ومثال Nodal Analysis بمصدر تيار معتمد

مقدمة

في هذا الفيديو سنطبق Mesh Analysis و Nodal Analysis على دوائر تحتوي على مصادر تيار كهربائي.

المثال الأول: Mesh Analysis مع مصدر تيار

لو عندنا هنا مصدر تيار 2 mA على اليسار في فرع لحاله، بعدين معه على التوازي 2 kΩ، بعدين فوق عندنا مقاومة 3 kΩ، بعدين هنا 2 kΩ، بعدين فوق 2 kΩ، بعدين هنا عندنا مصدر جهد Voltage Source على اليمين 12 V.

فالآن المطلوب أن نلاقي التيار اللي مار هنا فوق اللي هو I. ولاحظ أنه حدد لك I وين مكانها: هو يبغى التيار اللي مار من اليمين لليسار مرورًا بالـ 3 kΩ اللي فوق.

أولًا، لما أسوي التحليل أنا ما يهمني الاتجاه اللي هو حدده. رح أسوي أنا اتجاهاتي وأحل كل الجهود والتيارات الموجودة، وبالأخير أشوف إيش اللي يعادل التيار اللي هو يبغاه بالاتجاه اللي هو محدده.

فعندنا هنا Mesh 1 بالتيار I₁، هنا Mesh 2 بالتيار I₂، وهنا Mesh 3 بالتيار I₃.

أول معادلة سهلة ومباشرة معانا: إن I₁ هو نفسه 2 mA، هو نفسه التيار اللي طالع من مصدر التيار. وهذه نقطة ما تعودنا نشوفها لما ما يكون عندنا مصدر تيار. وفي المش الأول أكتفي بهذه المعادلة، لأني ما أعرف الجهد اللي على مصدر التيار الكهربائي. وأكيد الجهد اللي على مصدر التيار هو نفس الجهد اللي على المقاومة هذي 2 kΩ، واللي راح تكون معانا في المش الثاني. عشان كذا نروح إلى معادلة المش الثاني.

معادلة المش الثاني

هنا عندنا 2 kΩ مضروبة في (I₂ − I₁)، وحنا نعرف I₁ = 2 mA. بعدين نجمع مع هبوط الجهد اللي هنا اللي هو 3k في I₂. لاحظ أننا نتجاهل I المطلوبة الآن، بعدين راح نحلها في آخر المسألة. بعدين نجمع (I₂ − I₃) في 2k، ومجموعهم يساوي صفر. هذه معادلة المش الثاني.

معادلة المش الثالث

نجي إلى معادلة المش الثالث والأخير. الآن عشان ما نغلط خلونا نحط الإشارات زي ما قلنا سابقًا: التيار I₃ يدخل المقاومة 2k من تحت، يعني هنا موجب، ويطلع من فوق، هنا سالب. نفس الشيء 2k اللي فوق: يجيها من اليسار هنا موجب، ومن اليمين يطلع هنا سالب.

فالآن لما نمشي مع عقارب الساعة، فأول إشارة قابلناها على المقاومة الأولى 2k موجب، وعلى 2k اللي فوق أيضًا راح نلتقي بالموجب، وأيضًا على مصدر الجهد راح نلتقي بالموجب. معناتها كلهم نحطهم في جهة واحدة، نجمعهم ونخليهم يساوون صفر.

الحل

فالآن عندنا ثلاث معادلات: المعادلة الأولى حلت لنا I₁، المعادلة الثانية فيها I₂ و I₃ مجهولين، المعادلة الثالثة أيضًا فيها I₂ و I₃ مجهولين. فيصير عندنا معادلتين ومجهولين لـ I₂ و I₃. لما نحل يطلع عندنا I₂ = −0.33 mA، و I₃ = −3.167 mA.

الآن حلنا I₁ و I₂ و I₃. الآن نرجع للـ I اللي هو طالبها: هو يبغى I اللي من هنا. ولاحظ أن I اللي هو طالبها هي تمامًا عكس I₂. فمعناتها I المطلوبة نعكس إشارة I₂، وهذا هو الناتج: موجب 0.33 mA، أو 1 على 3 mA.

المثال الثاني: Nodal Analysis مع مصدر تيار معتمد

الآن نريد أن نشوف مثالًا ثانيًا نستخدم فيه Nodal Analysis وعندنا Current Sources.

عندنا هنا مصدر تيار 4 A طالع فوق على Node 1. من Node 1 طالع على اليمين 3 Ω إلى Node 2. Node 2 نازل منها مقاومة 4 Ω للأرضي Ground، والتيار اللي يمر بالـ 4 Ω سميناه iₓ. وعلى يمين Node 2 داخل 4iₓ، تيار معتمد على iₓ. بعدين عندنا Node 3 هنا، تحت فيه 6 Ω. وأخيرًا ما بين Node 3 و Node 1 عندنا 2 Ω.

لوجود مصادر التيار، وهنا عندنا مصدر تيار معتمد، فرح نفضل أن نستخدم Nodal Analysis.

تعريف iₓ

أول شيء نعرف المتغير iₓ: iₓ هو عبارة عن V₂، الجهد اللي هنا، تقسيم 4. معناتها 4iₓ عبارة عن 4 ضرب V₂ على 4، ونشيل الأربعة مع الأربعة، معناتها قيمة مصدر التيار هذا هي عبارة عن نفس قيمة V₂.

KCL عند Node 1

الآن نطبق KCL في العقدة الأولى: عندنا داخل 4 A، واللي طالع هنا على اليمين عبارة عن (V₁ − V₂) على 3، والتيار اللي طالع فوق عبارة عن (V₁ − V₃) على 2. فأنا رح أقول إن الداخل الأربعة والباقيين طالعين. فمعادلتنا رح تكون: 4 = (V₁ − V₂)/3 + (V₁ − V₃)/2. ممكن نبسط ونضرب الطرفين بستة، رح يصير عندنا 24 = 5V₁ − 2V₂ − 3V₃.

KCL عند Node 2

الآن نسوي KCL عند العقدة الثانية. فنقول التيارين اللي داخلين تساوي التيار الخارج: اللي من اليمين جاي، اللي هو 4iₓ، اللي قلنا هو نفس قيمة V₂، زائد اللي جاي من اليسار اللي هو (V₁ − V₂) على 3، نقول إنه يساوي iₓ اللي هو V₂ على 4. بعدين نسوي تبسيط: نضرب مثلًا الطرفين بـ 12، يطلع 4V₁ − 4V₂ + 12V₂ = 3V₂. نجمع الأطراف المتشابهة، عندنا 4V₁ + 5V₂ = 0، يعني V₂ = −0.8V₁. وهذه تصير معادلتنا الثانية.

KCL عند Node 3

نحتاج معادلة ثالثة لأن عندنا ثلاثة متغيرات، فنطبق KCL عند العقدة الثالثة. في العقدة الثالثة عندنا 4iₓ طالع، اللي هو نفس قيمة V₂، وعندنا التيار من هنا داخل (V₁ − V₃) على 2، اللي هو جاي من فوق، وعندنا التيار الثالث اللي نازل تحت من هنا، اللي هو V₃ تقسيم 6. فمعناتها التيار اللي جاي من فوق يساوي التيارين اللي هنا: (V₁ − V₃)/2 = V₂ + V₃/6. الآن نضرب الطرفين مثلًا في 6، بعدين نبسط، يطلع عندنا 3V₁ − 6V₂ − 4V₃ = 0، وهذه المعادلة الثالثة.

حل النظام

ثلاث معادلات وثلاثة مجاهيل، نحل. إذا حلنا النظام راح يطلع عندنا V₁ = 32 V، و V₂ = −25.6 V، و V₃ = 62.4 V. فمعناتها iₓ = V₂ على 4، اللي هو −25.6 على 4، يساوي −6.4 A.