البرهان الجبري

الرياضيات — الجبر والهندسة

الهدف: استخدام خصائص الأعداد الحقيقية لإثبات صحة عبارات رياضية خطوة بخطوة.

البرهان

تسلسل منطقي مبرر

الخصائص

جمع، طرح، ضرب، قسمة، توزيع

الطريقة

عبارة + مبرر في كل خطوة

خصائص المساواة الأساسية

— الجمع: إذا كان $a = b$ فإن $a + c = b + c$ .

— الطرح: إذا كان $a = b$ فإن $a - c = b - c$ .

— الضرب: إذا كان $a = b$ فإن $a \cdot c = b \cdot c$ .

— القسمة: إذا كان $a = b$ و $c \neq 0$ فإن $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}$ .

— التوزيع: $a(b + c) = ab + ac$ .

— الانعكاس: $a = a$ .

— التماثل: إذا كان $a = b$ فإن $b = a$ .

— التعدي: إذا كان $a = b$ و $b = c$ فإن $a = c$ .

— التعويض: يمكن استبدال $a$ بـ $b$ في أي معادلة إذا كان $a = b$ .

مثال ١ — برهان جبري خطوة بخطوة

— المعطى: $-5(x + 4) = 70$ .

— المطلوب: إثبات أن $x = -18$ .

مثال ٢ — برهان هندسي

— المعطى: الزاوية ١ ≅ الزاوية ٢ ≅ الزاوية ٣، حيث ∠١ = $(8x-5)°$ و ∠٣ = $(6x+7)°$ .

— المطلوب: إثبات أن $x = 6$ .

x = 6

— من التعدي: m∠١ = m∠٣.

8x - 5 = 6x + 7

2x = 12 \implies x = 6

x = 6

مثال ٣ — استخدام التوزيع

— المعطى: $3(x - 2) + 4 = 16$ .

— المطلوب: إثبات أن $x = 6$ .

3(x-2)+4=16

3x - 6 + 4 = 16 \quad \text{(التوزيع)}

3x - 2 = 16 \implies 3x = 18 \implies x = 6

x = 6

مثال ٤ — زوايا متكاملة

— زاويتان متكاملتان: الأولى = $(3x+15)°$ والثانية = $(2x-5)°$ .

— المطلوب: إثبات أن $x = 34$ .

— مجموع الزاويتين = 180° (تعريف التكامل):

(3x+15) + (2x-5) = 180

5x + 10 = 180 \implies 5x = 170 \implies x = 34

x = 34

ملخص الخصائص

الخاصية	الاستخدام
الجمع / الطرح	عزل المتغير بإضافة أو طرح من الطرفين
الضرب / القسمة	إزالة معامل المتغير
التوزيع	فتح الأقواس قبل الجمع
التعويض	استبدال قيمة معلومة في المعادلة
التعدي	ربط طرفين عبر حد وسيط

الخلاصة

— البرهان الجبري: سلسلة خطوات كل منها عبارة رياضية ومبرر.

— نبدأ دائماً من المعطيات وننتهي بالمطلوب إثباته.

— كل خطوة يجب أن تُبرَّر بخاصية أو تعريف أو مسلمة.

— البرهان الهندسي يستخدم نفس الخصائص الجبرية مضافاً إليها التعاريف والمسلمات الهندسية.

البرهان الجبري والهندسي

الشرح

البرهان الجبري

خصائص المساواة الأساسية

مثال ١ — برهان جبري خطوة بخطوة

مثال ٢ — برهان هندسي

مثال ٣ — استخدام التوزيع

مثال ٤ — زوايا متكاملة

ملخص الخصائص

الخلاصة